填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$, 则 $(A-4 E)^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 8 & 27 & 64 & 125\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$, 则 $A^{\prime} X=\beta$ 的解是
设 $n>2, n$ 阶矩阵 $\left(\begin{array}{ccccc}a & a & \cdots & a & b \\ a & a & \cdots & b & a \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a & b & \cdots & a & a \\ b & a & \cdots & a & a\end{array}\right)$ 的秩是 $n-1$, 其中 $a b \neq 0$,则 $a, b$ 满足条件
设 $A$ 是 6 阶方阵, $\mathrm{r}(A)=4$, 那么 $\mathrm{r}\left(A^*\right)=$
当 $x, y$ 满足 $\qquad$时, 矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & y\end{array}\right)$ 是正定的.
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+\quad x_3+x_4 & =0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4 & =1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4 & =b, \\
3 x_1+2 x_2+\quad x_3+a x_4 & =-1 .
\end{aligned}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多解? 并在有解时, 求线性方程组的解(用向量表示)