单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 末知, $\bar{X}$ 是 样本均值, 则以下四个选项中期望是 $\sigma^2$ 的统计量的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$, 其中 $\sigma_1>0, \sigma_2>0$, 则下列说法中正确的个数有 （ ） 个。
①. 令 $\left\{\begin{array}{l}U=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} \\ V=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\end{array}\right.$, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$
②. ①的条件下 $E\left((U-V)^2\right)=\rho$
③. ①的条件下, $V=v$ 的条件下: $U \sim N\left(\rho v, 1-\rho^2\right)$
④. ①的条件下, 若 $\rho=0$, 那么 $E\left(U^4 V^4\right)=3$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设总体 $X$ 的均值为 $\mu$, 标准差为 $\sigma=2$, 现抽样 $X_1, X_2, \ldots, X_n$, 是 $X$ 的简单随机样本, 且 $\bar{X}$ 是样 本 $X_1, \ldots, X_n$ 的样本均值, 若要至少使得 $99.7 \%$ 的概率保证 $|\bar{X}-\mu| < 0.5$, 试利用中心极限定理, 估计出 样本容量 $n$ 应该不小于（）．(其中已知, 正态分布表 $\Phi(2.97)=0.9985$ )
$\text{A.}$ 565
$\text{B.}$ 142
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 24
设 $X, Y$ 为两个随机变量, 其中 $E(X)=2, E(Y)=-1, D(X)=9, D(Y)=16$, 且 $X, Y$ 的相 关系数为 $\rho=-\frac{1}{2}$, 由切比雪夫不等式得 $P\{|X+Y-1| \leqslant 10\} \geqslant $ ________.
$\text{A.}$ $\frac{21}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{87}{100}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, $T=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2+T}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{(n-1)}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
将一枚均匀的硬市独立地拖掷 100 次, 记正面次数为 $X$, 利用中心极限定理估计 $P\{40 \leqslant X \leqslant 60\} \approx$
$\text{A.}$ 0.5 .
$\text{B.}$ $1-\Phi(1)$.
$\text{C.}$ $\Phi(1)$.
$\text{D.}$ $2 \Phi(2)-1$.