单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$处
$\text{A.}$ 连续，偏导数存在
$\text{B.}$ 连续，偏导数不存在
$\text{C.}$ 不连续，偏导数存在
$\text{D.}$ 不连续，偏导数不存在
设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义，且 $f_x^{\prime}(0,0)=3$ ， $f_y^{\prime}(0,0)=1$ ，则
$\text{A.}$ $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=3 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$
$\text{B.}$ 曲面 $z=f(x, y)$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的法向量为 $(3,1,1)$
$\text{C.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的切向量为 $(1,0,3)$
$\text{D.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的切向量为 $(3,0,1)$
考虑二元函数的下面 4 条性质:
(1) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，
(2) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的两个偏导数连续，
(3) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，
(4) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数存在.
若用 " $P \Rightarrow Q$ " 表示可由性质 $P$ 推出 $Q$ ，则有
$\text{A.}$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1)
$\text{B.}$ (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1)
$\text{C.}$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1)
$\text{D.}$ (3) $\Rightarrow$ (1) $\Rightarrow$ (4)
设函数
$$
u(x, y)=\phi(x+y)+\phi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t ，
$$
其中函数 $\phi$ 具有二阶导数， $\psi$ 具有一阶导数，则必有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
已知 $f(x, y)=e^{\sqrt{x^2+y^4}}$ ，则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 都存在
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 都不存在