解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
仓库中有 10 箱同种规格的产品, 其中 2 箱、 3 箱、 5 箱分别由甲、乙、丙三个厂生产, 三个厂的正品率分别为 $0.7,0.8,0.9$, 现在从这 10 箱产品中任取一箱, 再从中任取一件
(1) 求取出的产品为正品的概率
(2) 如果取出的是正品, 求此件产品由乙厂生产的概率
某保险公司把被保险人分为 3 类: “谨傎的”、“一般的”、“冒失的”, 统计资料表明, 这 3种人在一年内发生事故的概率依次为 $0.05,0.15,0.30$; 如果 “谨慎的” 被保险人占 $20 \%$, “一般的占 $50 \%$, “冒失的” 占 $30 \%$, 问:
(1) 一个被保险人在一年内出事故的概率是多大?
(2) 若已知某被保险人出了事故, 求他是 “谨慎的” 类型的概率。
设随机变量 $X$ 的分布律如下: 求: (1) $X$ 的分布函数; (2) $ P\{1 \leq X < 3\} $
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}x & 0 \leq x < 1 \\ 2-x & 1 \leq x < 2 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}$
求: (1) $X$ 的分布函数 $F(x)$
(2) 求 $P\left\{1 < X < \frac{3}{2}\right\}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2} & 0 < x < A \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 求:
(1) 常数 $A$
(2) 分布函数 $F(x)$
(3) $P\left\{-1 < X < \frac{1}{2}\right\}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_x(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 e^{-2 x} & x>0 \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 若 $Y=1-e^{-2 X}$, 求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 。