填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ 的导数 $f^{\prime}(x)=$.
若 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) \cdots(x+2021)$, 则 $f^{\prime}(0)=$
计算以下极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x+1}\right)^{x+5}$
讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, \quad x=0 .\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 且 $\boldsymbol{a b} \neq 0$, 证明: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\boldsymbol{a}\right)-f\left(x_0-b \boldsymbol{h}\right)}{\boldsymbol{h}}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$.
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(3)=$