填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
由方程 $y=\cos (x y)-x$ 所确定的隐函数为 $y=f(x)$, 求导数 $f^{\prime}(x)$.
设 $a>0, f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 且 $f(0)=f(2 a)$, 试证: 存在 $\xi \in[0, a]$, 使 $f(\xi)=f(\xi+a)$.
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^3} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{t}{\cos \theta}} \frac{\sin \left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{d} r=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点是
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=$