解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, f(1)=0$, 证明: $\left|\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M}{3}$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{\sin x}\right)^{\frac{1}{f(x)}}=\sqrt{e}$, 求 $f^{\prime \prime}(0)$ 的 值.
讨论方程 $f(x)=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n \frac{x^n}{n}=0$ ( $n$ 为正整数) 有几个实根.
分析: 对于方程根的存在性问题, 往往需要对其进行分类讨论; 分别是 $x$ 的分类 讨论和 $n$ 的分类讨论.
设 $y=y(x)$ 由 $x^3+3 x^2 y-2 y^3=2$ 确定, 求 $y(x)$ 的极值.
设非负函数 $y(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导且单调减少. 记曲线 $y=y(x)$ 上任意一点 $P$ 处的切 线与 $x$ 轴, $y$ 轴的交点分别为 $P_x, P_y$. 若 $\left|P P_x\right|=2\left|P P_y\right|$, 且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为 -1 , 求:
(I) 曲线 $y=y(x)$ 的方程;
(II) 曲线 $y=y(x)$ 在点 $(2, y(2))$ 处的曲率半径.
求函数 $f(x)=(1-x) \sqrt{|x|}$ 在 $(-1,1)$ 的极值点和极值.