解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $S$ 为椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$ 的上半部分，点 $P(x, y, z) \in S ， \pi$ 为 $S$ 在点 $P$ 处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 为点 $O(0,0,0)$ 到平面 $\pi$ 的距离，求 $\iint_S \frac{z \mathrm{~d} S}{\rho(x, y, z)}$.
计算二重积分 $\iint_D y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=-2$, $y=0, y=2$ 以及曲线 $x=-\sqrt{2 y-y^2}$ 所围成的平面区域.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}x^2 y, 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq x \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，求 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geq 2 x\right\}$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{4 a^2-x^2-y^2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=-a+\sqrt{a^2-x^2}(a>0)$ 和直线 $y=-x$ 围成区域.
求二重积分 $I=\iint_D y\left[1+x e^{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 围成的平面区域.
计算二重积分 $\iint_D e^{\max \left\{x^2, y^2\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
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D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}
$$