解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线积分 $\int_{C} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 其中 $\varphi(x)$ 具有连续的导数, 且 $\varphi(0)=0$. 计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 的值.
计算三重积分 $\iint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的区域.
计算二重积分 $\iint_D x^2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由双曲线 $x^2-y^2=1$ 及直线 $y=0, y=1$ 所围成的平面区域.
求曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^2\right) d x d y$其中 $\sum$ 是由 $z=e^y(0 \leqslant y \leqslant 1)$ 绕$z$轴旋转一周得到的曲面，方向取下侧。
计算二重积分$\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,$ 其中区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x, y \leq \sqrt{\pi}\}$.
求三重积分 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为平面 $x+2 y+z=1, x=0, y=0, z=0$ 围成的区域.