单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
交换积分次序 $\int_{-1}^0 d y \int_{1-y}^2 f(x, y) d x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_1^2 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_1^2 d x \int_{1-x}^0 f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^2 d y \int_{1-x}^0 f(x, y) d x$
下列级数中绝对收敛的是 ( )。
$\text{A.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln (1+n)}$
$\text{B.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{n^3-1}{n^2+2}$
$\text{C.}$ $\sum_1^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+1}{n^3-2 n+1}$
$\text{D.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n n}{\sqrt{3^n}} \sin n$
设 $z=x^y$, 则有
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=x^y \ln x$
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{j-1} d x$
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=x^y$
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{j-1}$
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛, 那么当 $x =2$ 时该级数 $(\quad)$
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不变
已知平面区域 $D_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}, D_2=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}$, $D_3=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi\right.\right\}$, 记 $I_1=\iint_{D_1} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_2=\iint_{D_2} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_3=\iint_{D_3} e ^{-x^2} \sin y d x d y$,则（）
$\text{A.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
(2) $\int_{-1}^0 d x \int_{-x}^{\sqrt{2-x^2}} f(x, y) d y+\int_0^1 d x \int_x^{\sqrt{2-x^2}} f(x, y) d y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_{-y}^y f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_{-\sqrt{2-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_{-y}^y f(x, y) d x+\int_1^{\sqrt{2}} d y \int_{-\sqrt{2-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^2 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\sqrt{2}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) d r$
设线性无关函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$ 的解, $C_1, C_2$ 是任意常数, 则对应齐次方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 的通解是 ( ).
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2$
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-2 y_3$
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
设区域 $D =\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}, f(x)$ 为 D 上的正值连续函数, $a, b$为常数, 则 $\iint_D \frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} d \sigma=(\quad)$
$\text{A.}$ $a b \pi$
$\text{B.}$ $\frac{a b \pi}{2}$
$\text{C.}$ $(a+b) \pi$
$\text{D.}$ $\frac{a+b}{2} \pi$
若函数 $y=x e^x$ 是方程 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 解, 则 $y=x e^x+C$ (C为任意常数)
$\text{A.}$ 是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{B.}$ 是 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的特解
$\text{C.}$ 不是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{D.}$ 不能确定是否为 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的解
设二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某领域内存在连续的二阶偏导数 $f_x^{\prime} 、 f_{x y}^{\prime \prime} 、 f_{y y}^{\prime \prime}$,且点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是驻点, 当 $f_{x y}^{\prime 2}\left(x_0, y_0\right) < f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right) f_{xx}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right)$, 且 $f_{y y}^{\prime}\left(x_0, y_0\right) < 0$ 时,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 不是极值
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极小值
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极大值
$\text{D.}$ 不能判断 $f\left(x_0, y_0\right)$ 是否为极值
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
设 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$上可微，且 $f(0,0)=0$ ，极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2} d t \int_x^{\sqrt{t}} f(t, u) d u}{1-e^{-x^4}}=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{4} f_y^{\prime}(0,0)$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} f_x^{\prime}(0,0)$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4} f_x^{\prime}(0,0)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} f_y^{\prime}(0,0)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x, y)=2 x+6 y-x^2-y^2$ 的驻点为
设平面曲线 $L$ 为下半圆周 $y=-\sqrt{1-x^2}$ 则曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) d s=$
设三阶常系数齐次线性微分方程有一个特解为 $y= e ^x(1+\cos x)$, 则该方程的表达式为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1) 3^n} x^n$ 的收敛半径为 $R=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{2 d y d z}{x \cos ^2 x}+\frac{d z d x}{\cos ^2 y}-\frac{d x d y}{z \cos ^2 z}$, 其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=$ 1 的外侧。
设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上二阶连续可导, $z=f\left(e^x \cos y\right)$ 。
(1). 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$.
(2). 若 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=e^{2 x}\left(4 z+8 e^x \cos y\right)$, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$, 试求出 $f(u)$ 的表达式。
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, 其中 $a_0=0, a_1=1$, 且满足 $\frac{1}{n+2} a_{n+2}=\frac{2}{n(n+1)} a_n$, 求
(1) 级数的收敛域;
(2) 幂级数的和函数 $S(x)$.
已知上半平面内一曲线 $y=y(x) \quad(x \geq 0)$, 过点 $(0,1)$, 且曲线上任一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处切线斜率数值上等于此曲线与 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $x=x_0$ 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和, 求此曲线方程.
设 $f:[0,1] \rightarrow R$ 连续, 求
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n
$$
讨论以下级数的收敛性:
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^{[\sqrt{n}]}}, \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}},
$$
其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分.