单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $(0,0)$ 处 $\qquad$
$\text{A.}$ 偏导数不存在
$\text{B.}$ 偏导数存在，但不可微
$\text{C.}$ 可微但偏导数不连续
$\text{D.}$ 偏导数连续
设二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有定义，则下列说法中，正确的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在．
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在．
设 $f_1(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^2-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, & x \neq y, \\ 0, & x=y,\end{array} f_2(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.\right.$ 则
$\text{A.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续．
$\text{B.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均不连续．
$\text{C.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
$\text{D.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)$
$\text{A.}$ 两个偏导数不存在
$\text{B.}$ 两个偏导数存在，但不为 0
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不可微
设 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数均存在是 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处可微的
$\text{A.}$ 必要而非充分条件
$\text{B.}$ 充分而非必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)]}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)]}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x(x, 0)-f_x(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y(0, y)-f_y(0,0)\right]=0$
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极小值，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数大于零
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数等于零
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数小于零
$\text{D.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数不存在
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点
$\text{D.}$ 根据所给条件无法判断点 $(0,0)$ 是否是 $f(x, y)$ 的极值点
将累次积分 $I=\int_0^1 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$ 更换积分次序后为
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{1-x} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{1-x} d y \int_0^1 f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{1-y} f(x, y) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d y \int_0^1 f(x, y) d x$
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\cos \theta} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho$ 可写成
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x}} f(x, y) d y$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^1 d y \int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} \sin ^3 x d x=$
计算二重积分 $\iint_D \sin \left(\frac{x}{y}\right) d x d y$, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=2$ 和曲线 $x=y^3$ 所围成的闭区域。
求 $\iint_D(x+2 x y) d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geq a^2, x^2+y^2 \leq 2 a x\right\}$
一个雪球开始融化，假设它将时刻保持球形，且体积的融化率与表面积成正比, 若在最初的一个小时内, 其体积缩减为原来的 $\frac{1}{8}$ 。计算雪球全部融化所需的时间。
设 $z=\arctan \frac{x+y}{x-y}$, 则 $d z=$
函数 $f(x, y)=2 x+6 y-x^2-y^2$ 的驻点为
设函数 $F(x, y)=\int_0^{x+y} \frac{\cos t}{1+t} d t$ ，则 $\left.\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right|_{\substack{x=-1 \\ y=1}}=$
设 $u=x^y y^z z^x$ ，求 $d u$ ．
$\int_0^1\left(\int_{x^2}^1 \frac{x y}{\sqrt{1+y^3}} d y\right) d x$ ；
$\int_0^2 d x \int_x^2 e ^{-y^2} d y$ ；
解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\ln \left(x y+\frac{x}{y}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=4$ 所围成的闭区域.
设方程 $2 x^3-6 x y+3 y^2+\frac{1}{e} z \ln z=0$ 确定了 $z=z(x, y)$, 求 $z(x, y)$ 的极值.
计算二重积分 $\iint_D x e^y d \sigma$, 其中 $D$ 是由 $y=\ln (x+1) 、 x$ 轴, $x=2$ 所围成的区域.
某厂准备生产甲、乙两种产品, 已知甲、乙的产量分别为 $x, y$ 件时, 总成本为 $C(x, y)=100+2 x+3 y+0.01\left(x^2+x y+y^2\right)$ （元）, 且每件售价分别为 8 元和 9 元.问两种产品各生产多少件时, 该厂可获得最大利润?
求函数 $f(x, y)=x^2+y^2-x y$ 在区域 $D:|x|+|y| \leq 1$ 上的最大值。
设 $z=u^2 \ln v$, 而 $u=\frac{x}{y}, v=3 x-2 y$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设 $z=f(x+y, x y)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $d z$
求二元函数 $f(x, y)=x^3-4 x^2+2 x y-y^2+1$ 的极值
求二元函数 $f(x, y)=x^2\left(2+y^2\right)+y \ln y$ 的极值
求极限$\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\left(x^2+y^2\right) \sin \left(x y^2\right)}{1-\cos \left(x^2+y^2\right)}$
求极限$\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^2+y^2}\right)^{x^2} \sin (x y)$
求极限: $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty}} \frac{x+y}{x^2-x y+y^2}$
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x y}{\sqrt[3]{x^3+y^3}}+\frac{x^5}{y-x}\right)$
设 $f(x, y)=\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ ，求 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0.0)} f(x, y)$
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}$
证明 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^2}{x^2+y^4}, x^2+y^4 \neq 0 \\ 0, \quad x^2+y^4=0 .\end{array}\right.$ ，判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的连续性
求极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^2}{x+y}}(a \neq 0)$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y^2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微分．