单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是（ ）。
$\text{A.}$ $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $C =\left[\begin{array}{lll}1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $D =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right]$
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+\lambda x_3=\mu+1, \\ x_1-4 x_3=\mu-1, \\ x_1+2 x_2-2 x_3=0\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda, \mu$ 应满足条件是（ ）．
$\text{A.}$ $\lambda=-2$ ，但 $\mu \neq-1$
$\text{B.}$ $\mu=0$ ，但 $\lambda \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda=0$ ，但 $\mu \neq 1$
$\text{D.}$ $\lambda=0$ ，但 $\mu \neq-1$
设 $A =\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right]$ 是 4 阶矩阵， $A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $[1,0,1,0]^{ T }$ 是方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系，则 $A ^* x = 0$ 的基础解系可以为（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _3$
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2$
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$
$\text{D.}$ $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$
已知线性方程组
$$
\alpha _1 x_1+ \alpha _2 x_2+ \alpha _3 x_3+ \alpha _4 x_4= \alpha _5
$$
有通解 $[2,0,0,1]^{ T }+k[1,-1,2,0]^{ T }$ ，则下列说法正确的是（ ）．
$\text{A.}$ $\alpha _5$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
$\text{B.}$ $\alpha _4$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
$\text{C.}$ $\alpha _5$ 不能由 $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性表出
$\text{D.}$ $\alpha _4$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _5$ 线性表出
若矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & t & 0 \\ 0 & -4 & 5 & -2\end{array}\right]$ 的秩为 2 ，则 $t=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A = E -2 \xi \xi ^{ T }$ ，其中 $\xi =\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^{ T }$ ，且 $\xi ^{ T } \xi =1$ ．证明：
（1） $A$ 是对称矩阵；
（2） $A ^2= E$ ；
（3） $A$ 是正交矩阵．
已知 $A$ 是 3 阶方阵，特征值为 $1,2,3$ ，则 $| A |$ 的元素 $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ 的代数余子式 $A_{11}, A_{22}, A_{33}$的和 $\sum_{i=1}^3 A_{i i}=$
设 $A$ 是 5 阶方阵，满足 $A ^5= O$ ．则 $| A +3 E |=$
设 $A$ 是 3 阶矩阵，已知 $A ^{-1}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]$ ，则 $\left| A ^*\right|=$ $\qquad$ ．
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ -a & -1 & a-1 \\ 3 & 1 & -2\end{array}\right]$ 的秩为 2 ，则 $a=$
已知 $A, B, C, D, H$ 为 $n$ 阶实矩阵，$I$ 是同阶单位矩阵，且 $A B C D H=I$ ，则 $C^{-1}=$
已知 $A$ 是 3 阶方阵，$I$ 是同阶单位矩阵，且 $|A-I|=0,|A+I|=0,|I-2 A|=0$ ，则 $\left|2 A^2+2 A-I\right|=-1.5$
解答题 （共 28 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)$, 利用施密特正交化过程将其化成规范正交向量组.
设 $R^3$ 的两个基 I 和 II 为
I: $\quad \alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) ;$ II: $\quad \beta_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 3\end{array}\right), \beta_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 7 \\ 1\end{array}\right)$
（1）求由基 I 到基 II 的过渡矩阵;
（2）设向量 $\gamma$ 在基 I 中的坐标为 $-2,1,2$, 求 $\gamma$ 在基 II 中的坐标.
已知方程组
$$
I:\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0, \\
\cdots \ldots \ldots \ldots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的一个基础解系为
$$
\left(\begin{array}{c}
b_{11} \\
b_{12} \\
\vdots \\
b_{1,2 n}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
b_{21} \\
b_{22} \\
\vdots \\
b_{2,2 n}
\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}
b_{n 1} \\
b_{n 2} \\
\vdots \\
b_{n, 2 n}
\end{array}\right),
$$
试写出方程组
$$
\text { II : }\left\{\begin{array}{c}
b_{11} y_1+b_{12} y_2+\cdots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0, \\
b_{21} y_1+b_{22} y_2+\cdots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
b_{n 1} y_1+b_{n 2} y_2+\cdots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的通解，并说明理由。
设 $R ^3$ 中两个基 $a_1, a_2, a_3$ 和 $b_1, b_2, b_3$, 其中
$$
a_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), a_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), a_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) ; b_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), b_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), b_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right),
$$
（1）求从基 $a_1, a_2, a_3$ 到基 $b_1, b_2, b_3$ 的过渡矩阵;
(2) 设向量 $\beta$ 在基 $a _1, a _2, a _3$ 中的坐标为 $(3,1,2)^{ T }$, 求 $\beta$ 在基 $b _1, b _2, b _3$ 中的坐标.
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$ ，对应的特征向量为 $\xi$ ．求 $k A , A ^2, A ^k, f( A )$ 的特征值和特征向量，其中 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$ ．
设 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$ ，对应的特征向量为 $\xi$ ．
（1）证明 $\lambda \neq 0$ ；
（2）求 $A ^{-1}, A ^*, E - A ^{-1}$ 的特征值和特征向量．
已知 $\xi _1, \xi _2$ 是 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量，问 $k_1 \xi _1+k_2 \xi _2$（ $k_1, k_2$ 是任意常数）是否属于 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量？
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 维列向量，又设 $B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^T & 0\end{array}\right)$ ．
证明：
（1）$n$ 为偶数．
（2）矩阵 $B$ 的秩 $r(B)=n$ ．
设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\sigma(W)$ 与 $\sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明：
（1） $\operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ．
（2）若 $W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则 $\operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma)$.
设 $A$ 是 4 阶实矩阵， $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，已知 $A ^*$ 有特征值 $1,-1,2,-4$ ，求 $\left| A ^3+2 A ^2- A -3 E \right|$
已知二阶方阵 $A$ 的两个特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ，其对应的特征向量分别为 $x_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right], x_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right]$ ，试求 $A^{2014}$ ．
设 $P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right)$ ， $A P=P \Lambda$ ．求 $\varphi(A)=A^3+2 A^2-3 A$ ．
已知 $A =\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ，写出 $A$ 可逆的一个充要条件，当 $A$ 可逆时，求 $A ^{-1}$ ．
设矩阵
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{array}\right], \quad B =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
（1）当 $a$ 为何值时，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价；
（2）当 $A$ 和 $B$ 等价时，求一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$ ．
$A=\left(a_1 a_2 \cdots a_n\right), B=\left(b_1 b_2 \cdots b_n\right)$ ，
求 $(1) A B^{ T }, A^{ T } B$ ；（2）令 $C=A^{ T } B$ ，求 $C^k$ ．
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ，求 $A^n$ ．
设 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵．求证：
（1）$r\left(A^*\right)= \begin{cases}n, & r(A)=n, \\ 1, & r(A)=n-1, \\ 0, & r(A) < n-1 ;\end{cases}$
（2）$\left|A^*\right|=|A|^{n-1}$ ．
设
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{lll}
-3 & 2 & 3 \\
-1 & 1 & 1 \\
-4 & 1 & 4
\end{array}\right]
$$
求矩阵 $A , B$ 的全部特征值及对应的特征向量．
设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶可逆阵 $A$ 的特征值．求 $A ^{-1}, I - A ^{-1}$ 及 $A ^*$ 的特征值．
设 $A$ 是 $n$ 阶幕等矩阵（即 $A ^2= A$ ）．$r( A )=r < n$ 试证：
$$
A \sim\left[\begin{array}{ll}
I_r & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]
$$
3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值分别为 $1,2,3$ ． $A$ 的属于 1,2 的特征向量分别为 $\alpha _1=(-1,-1,1)^{ T }, \alpha _2=(1,-2,-1)^{ T }$ 。
（1）求 $A$ 的属于特征值为 3 的特征向量．
（2）求矩阵 $A$ ．
已知矩阵 $A =\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，且 $A$ 与 $B$ 相似．
（1）求 $a, b$ 的值．
（2）求一个正交矩阵 $T$ ，使 $T ^{-1} A T = B$ ．
设 $V$ 是实数域上全体函数对于函数的加法与数乘函数的运算所构成的线性空间，试证：向量组：$f(x)= e ^{2 x}, g(x)=x^2, h(x)=x$ 线性无关。
在 $R ^3$ 中，子集 $W=\left\{\left(a_1, a_2, a_3\right)^{ T } \mid a_1 \geqslant 0\right\}$ 能否成为 $R ^3$ 的一个子空间？
定义在实数域上的全体 $n$ 阶方阵所构成的线性空间 $M_n( R )$中，由全体 $n$ 阶上三角矩阵所构成子集 $W$ ，能否成为 $M_n( R )$ 的一个子空间？
在由实数域 $R$ 到实数域 $R$ 的所有函数构成的线性空间 $V$ 中，子集 $W=\{f(x) \mid f(5)=f(2)\}$ 是否为子空间？
设 $R ^3$ 中线性变换 $\sigma$ 的定义如下：$\sigma\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }=\left(2 x_1-\right.$ $\left.x_2, x_2-x_3, x_2+x_3\right)^{ T }$ ．求 $\sigma$ 在自然基： $\varepsilon _1=(1,0,0)^{ T }, \varepsilon _2=(0,1,0)^{ T }$ ， $\varepsilon _3=(0,0,1)^{ T }$ 下的对应矩阵。
在 $R ^2$ 中，求一个线性变换 $\sigma$ ，使 $\sigma(1,2)^{ T }=(2,3)^{ T }, \sigma(0,1)^{ T }=$ $(1,4)^{ T }$ ．并求 $\sigma(3,4)^{ T }$ ．