考研数学111-数学组卷-自助组卷

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考研数学111

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

是连续型随机变量

X

的概率密度,

F (x)

为其分布函数, 则

A.

0 ⩽ f (x) ⩽ 1

B.

P {X = x} ⩽ F (x)

C.

P {X = x} = F^{'} (x)

D.

P {X = x} = f (x)

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2. 设

F (x)

是随机变量

X

的分布函数, 则下列函数中一定不是分布函数的是( ).

A.

F^{2} (x)

B.

F^{3} (x)

C.

F (2 x)

D.

2 F (x)

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3. 下列函数中, 可以作为连续型随机变量概率密度的是 ( ).

A.

f_{1} (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 ⩽ x < \frac{π}{2}, \\ 0, & 其他 \end{cases}

B.

f_{2} (x) = {\begin{cases} \sin x, & - \frac{π}{2} ⩽ x < 0, \\ 0, & 其他 \end{cases}

C.

f_{3} (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 ⩽ x < π, \\ 0, & 其他 \end{cases}

D.

f_{4} (x) = {\begin{cases} 1 - \sin x, & 0 ⩽ x < \frac{π}{2}, \\ 0, & 其他 \end{cases}

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4. 设随机变量

X

的分布函数

F (x) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 ⩽ x < 1, 则 P {X = 1} = () . \\ 1 - e^{- x}, & x ⩾ 1, \end{cases}

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2} - e^{- 1}

D.

1 - e^{- 1}

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5. 已知离散型随机变量

X

的分布律为

P {X = k} = p^{k + 1} (k = 0, 1)

, 则

p = ()

A.

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

B.

\frac{\sqrt{5} + 1}{4}

C.

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

D.

\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

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6. 设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度,

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上均匀分布的概率密度, 若

f (x) = {\begin{cases} a f_{1} (x), & x ⩽ 0, \\ b f_{2} (x), & x > 0 \end{cases}, (a > 0, b > 0)

为概率密度, 则

a, b

应满足

A.

2 a + 3 b = 4

B.

3 a + 2 b = 4

C.

a + b = 1

D.

a + b = 2

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7. 设随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = \frac{1}{π (1 + x^{2})} (- \infty < x < + \infty)

, 则

Y = 2 X

的概率密度为

f_{Y} (y) =

A.

\frac{1}{π (1 + 4 y^{2})}

B.

\frac{1}{π (4 + y)^{2}}

C.

\frac{2}{π (4 + y^{2})}

D.

\frac{2}{π (1 + y^{2})}

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8. 已知二维随机变量

(X, Y)

的分布函数为

F (x, y) = A (B + \arctan \frac{x}{2}) (C + \arctan \frac{y}{3})

, 则

A.

A = \frac{1}{π^{2}}, B = \frac{π}{4}, C = \frac{π}{6}

B.

A = \frac{1}{π^{2}}, B = C = \frac{π}{2}

C.

A = 1, B = \frac{π}{4}, C = \frac{π}{6}

D.

A = 1, B = C = \frac{π}{2}

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9. 设

f (x)

为微分方程

y^{''} - y^{'} - e^{\sin x} = 0

的解, 且

f^{'} (x_{0}) = 0

, 则

f (x)

在

()

A.

x_{0}

的某邻域内单调递减

B.

x_{0}

处取极小值

C.

x_{0}

处取极大值

D.

x_{0}

的某邻域内单调递增

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10.

lim_{n \to \infty} \cos (π \sqrt{1 + 4 n^{2}})

A.

等于 0 .

B.

等于 1 .

C.

等于 -1 .

D.

不存在.

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11. 若

f (x) = lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{n t^{n - 1}}{1 + e^{x t}} d t

, 则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =

A.

e^{2}

B.

1 + e

C.

\ln (1 + e)

D.

\ln 2

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12. 已知平面区域

D_{1} = {(x, y) | 0 ⩽ y ⩽ x ⩽ \frac{π}{2}}, D_{2} = {(x, y) | 0 ⩽ x ⩽ y ⩽ \frac{π}{2}}

D_{3} = {(x, y) | \frac{π}{2} ⩽ x ⩽ y ⩽ π}

, 记

I_{1} = \iint_{D_{1}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y, I_{2} = \iint_{D_{2}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y, I_{3} = \iint_{D_{3}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y

,则（）

A.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{1} < I_{3} < I_{2}

D.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

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13. 设

f (x, y) = {\begin{cases} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}}, (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, (x, y) = (0, 0), \end{cases}

则

f (x, y)

在点

(0, 0)

处

A.

两个偏导数都存在，函数也连续。

B.

两个偏导数都存在, 但函数不连续.

C.

偏导数不存在，但函数连续。

D.

偏导数不存在, 函数也不连续.

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14. 二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (n - 1) \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - 2 \sum_{1 < i < j < n} x_{i} x_{j}

的正惯性指数为

A.

B.

C.

n - 1

D.

n

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15. 设

A, B, C, D

是四个 4 阶矩阵, 其中

A, D

为非零矩阵,

B, C

可逆, 且满足

A B C D = O

, 若

r (A) +

r (B) + r (C) + r (D) = r

, 则 r 的取值范围是

A.

r < 10

B.

10 ⩽ r ⩽ 12

C.

12 < r < 16

D.

r ⩾ 16

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16. 矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}]

与矩阵

B = [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]

相似的充分必要条件为

A.

a - b = 0

B.

a b = 0

C.

a + b = 0

D.

a, b

为任意常数.

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17. 设

A, B

为任意两个事件, 若

P (B) > 0

, 则下列结论正确的是

A.

P (A ∣ A \cup B) = P (A ∣ B)

B.

P (A ∣ A \cup B) < P (A ∣ B)

C.

P (A ∣ A \cup B) > P (A ∣ B)

D.

P (A ∣ A \cup B) ⩾ P (A ∣ B)

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18. 设

X

为非负连续型随机变量, 其

k (k = 1, 2, \dots)

阶矩存在概率密度记为

f (x)

, 分布函数记为

F (x)

,则

\int_{0}^{+ \infty} [1 - F (x)] d x =

A.

E X

B.

E (X^{2})

C.

D X

D.

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19. 设

{\bar{X}}_{n}

和

S_{n}^{2}

分别是样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为

X_{1}

X_{2}, \dots, X_{n}, X_{n + 1}

, 其样本方差为

S_{n + 1}^{2}

. 当

S_{n + 1}^{2} = a S_{n}^{2} + \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{n + 1} - b)}^{2}}{n (n + 1)}

成立时, 有

A.

a = \frac{n - 1}{n}, b = {\bar{X}}_{n}

B.

a = \frac{n}{n + 1}, b = \bar{X}

C.

a = \frac{n - 1}{n}, b = X_{i}

D.

a = \frac{n}{n + 1}, b = X_{i}

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20. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自正态总体

N (μ, σ^{2}) (σ > 0)

的简单随机样本,

μ

是未知参数,

X

是样本均值，则下列各式是统计量的为（）。

A.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

B.

\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}

C.

\bar{X} - μ

D.

(\bar{X} - μ)^{2} + σ^{2}

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21. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n ⩾ 2)

为来自总体

X \sim N (0, 1)

的简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值,

S^{2}

为样本方差，则

A.

n \bar{X} \sim N (0, 1)

B.

n S^{2} \sim χ^{2} (n)

C.

\frac{(n - 1) \bar{X}}{S} \sim t (n - 1)

D.

\frac{(n - 1) X_{1}^{2}}{\sum_{i = 2}^{n} X_{i}^{2}} \sim F (1, n - 1)

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22. 设总体

X

服从参数为

λ

的指数分布,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是取自总体

X

的一个简单随机样本, 则参数

λ

的矩估计量为 ( )。

A.

\frac{1}{2 \bar{X}}

B.

\frac{1}{\bar{X}}

C.

\bar{X}

D.

\frac{1}{2} \bar{X}

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23. 反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln x}{1 + x^{2}} d x

A.

收敛且等于 0

B.

收敛且等于 1

C.

发散

D.

不能确定敛散性.

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24. 设

f (x, y)

在

(0, 0)

的某邻域内连续, 且

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y)}{x^{2} + | y |} = 1

, 则

f (x, y)

在

(0, 0)

处

A.

取极大值.

B.

取极小值.

C.

不取极值.

D.

无法确定.

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25. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1}

, 则

\iint_{D} \frac{e^{x^{2} + y^{2}}}{2 + x y} d x d y =

A.

B.

4 \iint_{D_{1}} \frac{e^{x^{2} + y^{2}}}{2 + x y} d x d y

, 其中

D_{1} = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

C.

4 \iint_{D_{2}} \frac{e^{x^{2} + y^{2}}}{2 + x y} d x d y

, 其中

D_{2} = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, x ⩾ 0, y ⩽ 0}

D.

2 \iint_{D_{3}} \frac{e^{x^{2} + y^{2}}}{2 + x y} d x d y

, 其中

D_{3} = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, x ⩾ 0}

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26. (1) 设

f (x)

满足

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + f (x) \sin 2 x} - 1}{e^{x^{2}} - 1} = 1

, 则( )

A.

f (0) = 0

B.

lim_{x \to 0} f (x) = 0

C.

f^{'} (0) = 1

D.

lim_{x \to 0} f^{'} (x) = 1

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27. 设

f (x)

是严格单调的连续奇函数,

g (x)

是偶函数, 已知数列

{x_{n}}

, 则 ()

A.

当

lim_{n \to \infty} f (g (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

B.

当

lim_{n \to \infty} g (f (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

C.

当

lim_{n \to \infty} f (g (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} g (x_{n})

存在, 但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

D.

当

lim_{n \to \infty} g (f (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} f (x_{n})

存在, 但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

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28. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续,

f (x) > 0, F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t + \int_{b}^{x} \frac{1}{f (t)} d t

, 则方程

F (x) = 0

在

[a, b]

上不同实根的个数为（）

A.

B.

C.

D.

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29. 已知

f (x) = max {1, x^{2}}

, 则

\int f (x) d x =

A.

{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, & x > 1 \end{cases}

B.

{\begin{array}{cc} \frac{x^{3}}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C, & x > 1 \end{array}

C.

{\begin{array}{cc} \frac{x^{3}}{3} + C_{1}, & x < - 1 \\ x + C_{2}, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C_{3}, & x > 1 \end{array}

D.

{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{4}{3} + C, x < - 1 \\ x + C, - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, x > 1 \end{cases}

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30. 若

I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- p x} \cos q x d x

收敛, 则

A.

p \leq 0, I = q^{2}

B.

p \leq 0, I = p^{2} + q^{2}

C.

p > 0, I = \frac{1}{p^{2} + q^{2}}

D.

p > 0, I = \frac{p}{p^{2} + q^{2}}

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31. 设连续函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x - 2 y - 4}{x^{2} + y^{2}} = - 1

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (2 h, 0) - f (0, - h)}{h} = (

)

A.

-1

B.

C.

D.

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32. 设

n

阶矩阵

A, B

满足

A A^{T} = E, B B^{T} = E

, 其中

E

是

n

阶单位矩阵,则()

A.

| A + B | = | A | + | B |

总成立

B.

| A + B | = | A | + | B |

总不成立

C.

当

| A | | B | < 0

时,

| A + B | = | A | + | B |

成立

D.

当

| A | | B | > 0

时,

| A + B | = | A | + | B |

成立

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33. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array})

, 且

r (B) = 2, r (A B) = 1

, 则

()

A.

r ((\begin{array}{ll} A^{*} & O \\ A & B \end{array}) = 3

B.

r (\begin{array}{ll} A & O \\ O & B^{*} \end{array}) = 3

C.

r ((\begin{array}{cc} A^{*} & B \\ O & B^{*} \end{array}) = 3

D.

r (\begin{array}{ll} A & B^{*} \\ O & B \end{array})) = 3

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34.

n

阶矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}), B = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})

, 矩阵

C_{1} = A B, C_{2} = A + B, C_{3} = (A, B)

, 则下列命题一定正确的是（）
(1)矩阵

C_{1}

的列向量组可由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性表示.
(2)矩阵

C_{1}

的列向量组可由

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}

线性表示.
(3)矩阵

C_{2}

的列向量组可由矩阵

C_{3}

的列向量线性表示.
(4)矩阵的秩满足

r (C_{2}) \leq r (C_{3}) \leq r (A) + r (B)

A.

(1)(3)(4)

B.

(2)(3)(4)

C.

(1)(4)

D.

(3)4

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35. 设

α_{1} = \sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}, α_{2} = \int_{0}^{x^{4}} \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t, α_{3} = \int_{0}^{x} d u \int_{0}^{u^{2}} \arctan t d t

. 当

x \to 0

时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{3}, α_{2}

C.

α_{2}, α_{1}, α_{3}

D.

α_{3}, α_{1}, α_{2}

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36. 曲线

y = x \ln \frac{x}{x - 1} + \ln [x (x - 1)]

的渐近线的条数为 ( )

A.

B.

1 .

C.

2 .

D.

3 .

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37. 若

\frac{\sin ξ}{ξ}, \frac{\sin η}{η}

分别为

\frac{\sin x}{x}

在

(0, 1)

和

(0, a) (0 < a < 1)

上的平均值, 其中

ξ \in (0, 1), η \in

(0, a)

, 则

ξ

与

η

的大小关系为 ( )

A.

ξ < η

B.

ξ = η

C.

ξ > η

D.

从已知条件无法确定.

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38. 设函数

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处连续,则下列命题中, 正确的是 ( )

A.

若

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿

(1, 0)

与沿

(- 1, 0)

的方向导数均存在, 则偏导数

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})

存在.

B.

若偏导数

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})

存在,则

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿

(- 1, 0)

的方向导数等于

- f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})

C.

若偏导数

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})

均存在, 则

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿任意方向的方向导数均存在。

D.

若

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿任意方向的方向导数均存在, 则

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处的偏导数均存在.

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39. 设

A

为

n \times m

矩阵,且

m \neq n

. 若

A A^{T} = E_{n}

, 则 ( )

A.

A x = 0

只有零解.

B.

A x = b

必有解.

C.

A^{T} x = b

必有解.

D.

若

m

维列向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性无关, 则

A β_{1}, A β_{2}, \dots, A β_{s}

必线性无关.

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40. 设

n

阶矩阵

A = E - k α α^{T}

, 其中

k \neq 0, α \neq 0

. 若

A^{2} = E

, 则下列命题中, 错误的是 ( )

A.

n - tr (A)

为偶数.

B.

| A | = - 1

C.

A

可相似对角化.

D.

A

有

n - 1

个线性无关的属于特征值 -1 的特征向量.

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