单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设点 $P_i\left(x_i, y_i\right)(i=1,2,3)$ 为 $x O y$ 平面上三个不同的点, $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right)$, 则 三点 $P_1, P_2, P_3$ 在同一直线上的充分必要条件是
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$.
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})=2$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆; (2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=0$ 有非零解.
正确的共有
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $A$ 为三阶方阵, 将 $A$ 的第 2 列加到第 1 列得到矩阵 $B$, 再交换矩阵 $B$ 的第 2 行与第 3 行得到矩阵 $C$, 记
$$
P_1=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], P_2=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right], \quad \text { 则 } \boldsymbol{C}=(\quad) \text {. }
$$
$\text{A.}$ $P_2 A P_1$
$\text{B.}$ $P_1 A P_2$
$\text{C.}$ $A P_1 P_2$
$\text{D.}$ $P_2 P_1 A$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=0$, 则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $R(A) < n$;
$\text{B.}$ $A$ 有一个行向量是其余 $n-1$ 个行向量的线性组合
$\text{C.}$ 有两行元素成比例;
$\text{D.}$ $A$ 的 $n$ 个列向量线性相关.
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}-1 & 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right|$ 中 $x$ 的一次项系数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 3 & x & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 3 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶可逆方阵, 则下列等式成立的是
$\text{A.}$ $\left|( A B )^{-1}\right|=| A |^{-1}| B |^{-1}$;
$\text{B.}$ $|- A B |=| A B |$;
$\text{C.}$ $\left|A^2-B^2\right|=|A+B \| A-B|$;
$\text{D.}$ $|2 A|=2|A|$.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m,\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$, 则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式, 则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
设 $A 、 B$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=2,|B|=-3$, 则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
$\text{A.}$ -12
$\text{B.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{2^{2 n-1}}{3}$
$\text{D.}$ $(D)-\frac{2^{n+1}}{3}$
已知 $\left|\begin{array}{cccc}x & -m & -1 & 0 \\ 0 & -x & m & 1 \\ -1 & 0 & x & -m \\ m & 1 & 0 & -x\end{array}\right|=a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x^1+a_0$,则 $a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=$
$\text{A.}$ $-m^4+4 m^2$.
$\text{B.}$ $m^4+4 m^2$.
$\text{C.}$ $-m^4+2 m^2$.
$\text{D.}$ $-4 m^4-4 m^2$.
设 $f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x+1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & x+2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & x+3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & x+n\end{array}\right|$, 则 $f^{(n-1)}(0)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} n(n+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}(n+1)!$.
$\text{C.}$ $n!$.
$\text{D.}$ $(n+1)!$.
设 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0\end{array}\right|=A_{41}-A_{42}+A_{43}+10$ ，其中 $A_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $a, b$ 的值为
$\text{A.}$ $a=4, b=1$
$\text{B.}$ $a=1, b=4$
$\text{C.}$ $a=4, b$ 为任意常数
$\text{D.}$ $a=1, b$ 为任意常数
下列行列式中等于零的是
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ -2 & -7 & -6\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3\end{array}\right|$
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m,\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$ ，则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式，则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
$ D_4=\left|\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & 0 \\ -1 & 1-a & a & 0 \\ 0 & -1 & 1-a & a \\ 0 & 0 & -1 & 1-a\end{array}\right|=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $a^4+2 a^3+6 a^2+2 a+1$
$\text{B.}$ $a^4-2 a^3+6 a^2+a$
$\text{C.}$ $a^4+a^3+a^2+a+1$
$\text{D.}$ $a^4-a^3+a^2-a+1$
设 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|$ ，则 $A_{31}+A_{32}+A_{33}+M_{34}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
设四阶行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 1 & 4\end{array}\right|$ ，则 $D=()$
$\text{A.}$ 60
$\text{B.}$ 61
$\text{C.}$ 62
$\text{D.}$ 63