单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 均为 n 阶矩阵，且 $A B=O$ ，则必有
$\text{A.}$ $A=O$ 或 $B=O$
$\text{B.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$
$\text{C.}$ $A+B=O$
$\text{D.}$ $|A|+|B|=0$
齐次线性方程组 $A_{m \times \times n} x=O$ 存在非零解的充分必要条件为
$\text{A.}$ A 的列向量组线性无关
$\text{B.}$ A 的行向量组线性无关
$\text{C.}$ A 的列向量组线性相关
$\text{D.}$ A 的行向量组线性相关
$n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 相似的充分条件是
$\text{A.}$ $|A|=|B|$
$\text{B.}$ $r(A)=r(B)$
$\text{C.}$ A 与 B 有相同的特征多项式
$\text{D.}$ $n$ 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征值且 $n$ 个特征值互不相同
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11\end{array}\right)$ ，则秩 $R(\boldsymbol{A})=$ ________ ，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数等于 ________
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $A$ 的特征值为 $1,2,3$ ，则 $\left|A^2+2 A+E\right|=$
设 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 是 5 元线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $R(\boldsymbol{A})=$
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $-1,1,2$ ，则 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}$ 的特征值为
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，且 $|4 \boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{A}|=0$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 必有一个特征值为
若 $a_{12} a_{m 4} a_{25} a_{4 n} a_{53}$ 为 5 阶行列式 $D=\left|a_{i j}\right|$ 中的一项，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ，$n=$ $\_\_\_\_$ ，该项的符号为 $\_\_\_\_$
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为三阶矩阵，且 $|A|=3,|B|=-2$ ，则 $\left||A| A^{-1} B^T\right|=$
设 $A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $B^{50} A^{-1}=$
设三阶矩阵 A 与矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 相似，则 $3 I-A^{-1}$ 的特征值为
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知平面 $\pi: x+2 y+3 z-7=0$ 上的直线 $L$ 过点 $A(0,2,1)$ ，且与直线 $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{0}$ 垂直，求直线 $L$ 的方程．
设向量 $\beta$ 与 $\alpha=i-2 j+2 k$ 共线，与单位向量 $j$ 成锐角，且 $|\beta|=15$ ，求 $\beta$ ．
已知向量 $\gamma$ 垂直于向量 $\alpha =(1,2,1)$ 和 $\beta =(-1,1,1)$ ，并满足 $\gamma \cdot(i-2 j+k)=8$ ，求向量 $\gamma$ 。
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为线性无关的三维列向量，且满足：
$$
A \alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \quad A \alpha_2=2 \alpha_2+\alpha_3, \quad A \alpha_3=2 \alpha_2+3 \alpha_3
$$
（1）求矩阵 $B$ ，使得 $A\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right]=\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right] B$ ；
（2）求矩阵 $A$ 的特征向量；
（3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P ^{-1} A P = \Lambda$ ．
设三阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和都是 3 ，向量 $\alpha_1=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & -1\end{array}\right]^T, \alpha_2=\left[\begin{array}{lll}0 & -1 & 1\end{array}\right]^T$都是齐次线性方程组 $A x =0$ 的解．求：
（1） $A$ 的特征值和特征向量；
（2）作正交阵 $Q$ 和对角阵 $\Lambda$ ，使得 $Q ^T A Q = \Lambda$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}\right), \boldsymbol{B}=\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}\right)$ ，且已知行列式 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}=1, \operatorname{det} \boldsymbol{B}=-2$ ，计算 $\operatorname{det}(2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ．
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right)$ ．
（1）求出 $A$ 的所有特征值。
（2）求正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。
（1）求过点 $P_0(1,1,0)$ 且平行于向量 $\vec{a}=2 \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$ 和 $\vec{b}=\vec{i}+2 \vec{j}$ 的平面方程。
（2）将直线 $L$ 的一般式方程 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z=0 \\ x+y-2 z=2\end{array}\right.$ 化为对称式方程。
当 $a, b$ 满足什么条件时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3=0 \\ 2 x_1+3 x_2-x_3=b \\ -x_1-3 x_2+a x_3=-2\end{array}\right.$有唯一解；无解；有无穷多解？并在有无穷多解时，求该方程组的通解．
讨论$\lambda$取何值时，方程组有解，并求
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+\lambda) x_1+x_2+x_3=1 \\
x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=\lambda \\
x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda^2
\end{array}\right.
$$
计算 $n$ 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{lllll}1 & 3 & 3 & \ldots & 3 \\ 3 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\ 3 & 3 & 3 & \ldots & 3 \\ & \ldots & & \ldots & \\ 3 & 3 & 3 & 3 & n\end{array}\right|$ 的值．
求向量组 $\alpha_1=(1,1,2,2)^T, \alpha_2=(0,2,1,5)^T, \alpha_3=(2,0,3,-1)^T, \alpha_4=(1,3,3,7)^T$ 的秩和一个极大线性无关组．
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 4 \\ -2 & 4 & 5 & 3\end{array}\right|$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 2 & 1 \\ 0 & -3\end{array}\right)$ ，满足 $A X-2 B=X$ ，求 X ．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=A$ ，证明：$r(A)+r(A-E)=n$ 。
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A^2=A$ ，证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^T A Q=\left(\begin{array}{cc}E_r & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $r$ 为 $A$ 的秩。
设 $n$ 阶矩阵 A 满足 $A^3=0$ ，证明 I－A 可逆，并求其逆矩阵。