单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $I_1=\int_{-1}^1 e ^{-\frac{x^2}{2}} d x, I_2=\sqrt{2 \pi\left(1- e ^{-1}\right)}, I_3=4\left(1- e ^{-\frac{1}{2}}\right)$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $I_3>I_1>I_2$.
$\text{B.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, $(0,0)$ 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
积分 $\int_0^1 x^a|\ln x|^b d x$ 收敛，则（）
$\text{A.}$ $a>-1, b>-1$ ．
$\text{B.}$ $a>-1, b < -1$ ．
$\text{C.}$ $a < -1, b>-1$ ．
$\text{D.}$ $a < -1, b < -1$ ．
已知 $I_1=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (\cos x)}{2} d x, I_2=\int_{-1}^1 \frac{(1+\sin x)^2}{2\left(1+\sin ^2 x\right)} d x, I_3=\int_{-1}^1 f(x) d x$ ，其中 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 3$ ，则三者的大小关系为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
若反常积分 $\int_0^{e^2} \frac{d x}{\sqrt{x}|\ln \sqrt{x}|^p}$ 收敛，则参数 $p$ 的取值范围为（ ）．
$\text{A.}$ $p \leqslant 1$
$\text{B.}$ $p \geqslant 2$
$\text{C.}$ $p < 1$
$\text{D.}$ $p < \frac{1}{2}$
已知 $f(x)$ 是以 2 为周期的偶函数，当 $x \in[0,1]$ 时，$f^{\prime}(x)=\arcsin \sqrt{2 x-x^2}, f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[-1,5]$ 上的平均值为 () ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{12}$
设 $I(s)=\int_0^1|\ln | s-t| | d t, s \in[0,1]$ ，则 $I(s)$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\ln 2$
$\text{B.}$ $1+\ln 2$
$\text{C.}$ $2+\ln 2$
$\text{D.}$ $3+\ln 2$
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sin ^a\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \cos ^{1-a}\left(\frac{\pi}{2} x\right)} d x$ 收敛，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $-1 < a < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1$
$\text{C.}$ $0 < a < 2$
$\text{D.}$ $-1 < a < 0$
下列反常积分发散的是（ ）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{1+x}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^{\frac{3}{2}} \ln (1+x)} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x^2}{x^2 \ln x} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\left( e ^{-x}-1\right) \ln (1+\sqrt{x})}{x^2} d x$
$I_1=\int_0^1 \frac{ e ^{x^2}-1}{x^2} d x, I_2=\int_0^1 \frac{ e ^x-1}{x} d x, I_3=\frac{1}{2} \int_0^1 e ^{x^2} d x$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足 $f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x$ ，则 $f(x)=()$
$\text{A.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}-\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}-\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}+\frac{1}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}+\frac{1}{2}$ ．
设函数 $f(x)$ 连续，则下列函数必为偶函数的是 () ．
$\text{A.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] \mathrm{d} t$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^x f^2(t) \mathrm{d} t$ ．
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上单调增加的连续函数，则
$\text{A.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
若反常积分 $I=\int_1^{+\infty} \frac{x+1}{x^p \sqrt{x^q-1}} \mathrm{~d} x$ 收敛（ $p, q$ 为正常数），则 $p, q$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\frac{p}{2}+\frac{q}{4} < 1$ ．
$\text{B.}$ $0 < q < 2, p+q>2$ ．
$\text{C.}$ $\frac{p}{2}+\frac{q}{4}>1$ ．
$\text{D.}$ $q>2, p+\frac{q}{2}>4$ ．
填空题 （共 20 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $n=1,2, \cdots$, 则 $\int_0^{n \pi} x|\sin x| d x=$
设 $a_n=\int_1^{+\infty} x^{-\frac{3}{2}} \ln ^n x d x$ ，则 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{a_n}=$
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \ln x}{\left(a^2+x^2\right)^2} d x=$ $\qquad$ $(a>0)$.
已知可导函数 $y=f(x)$ 在 $[1, \sqrt{3}]$ 上单调递减，其中 $f(1)=\sqrt{3}, f(\sqrt{3})=1$ ，记 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta, \\ y=r \sin \theta,\end{array}\right.$ 则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} r^2(\theta) d \theta-2 \int_1^{\sqrt{3}} f(x) d x=$
已知连续正值函数 $f(x)=-\frac{24}{\pi} x \sqrt{x(1-x)}+\int_x^1 f(y) f(y-x) d y$ ，则 $\int_0^1 f(x) d x==$
若函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x+l)=f(x), l>0$ ，则 $\int_{-l}^l f(x) \cos \frac{(2 n+1) \pi x}{l} d x=$
设 $f(x)$ 为微分方程 $x f^{\prime}(x)-f(x)=\sqrt{2 x-x^2}$ 满足初始条件 $f(1)=0$ 的解，则 $\int_0^1 f(x) d x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \int_0^{\frac{1}{n}} e ^{t^2} d t\right)^{n^2+n-\sin n}=$
设函数 $f(x)=\int_0^x \sqrt{\frac{3+t^2}{1-t^4}} d t$ ，则 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{\sin x}) \sin x d x=$
$\int 2^x \arctan \sqrt{2^x-1} d x=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 d t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为 $\qquad$ ．
设 $x>0$ 时，可微函数 $f(x)$ 及其反函数 $g(x)$ 满足 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}-8\right)$ ，则 $f(x)=$
计算不定积分 $\int \frac{\tan x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ （其中 $a b \neq 0$ ）。
$\int_0^1 x \arcsin (1-x) \mathrm{d} x=$
平面无界区域 $D=\left\{(x, y)\left|\left(1+x^2\right)\right| y \mid \leqslant 1\right\}$ 的面积
设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 内连续，且满足 $2 x f\left(x^2\right)=f(x)+\frac{1}{x}$ ，则 $\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x)=\int_0^x \sqrt[3]{t-\frac{\pi}{4}} \sin 2 t \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最小值点为 $x=$
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积 $S=$
设函数 $f_n(x)=c_n x^{2 n} \mathrm{e}^{-\pi x^2}$ ，且满足 $\int_0^{+\infty} f_n(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ，其中 $c_n$ 为仅与 $n$ 有关的数．若 $c_0=1$ ，则 $c_4=$
已知 $f(x)$ 是非负的连续函数，且 $f(x) \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\int_0^{\sqrt{t}} d u \int_{u^2}^t \sin y^2 d y}{\left[\left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{t^2}\right)^x-1\right] \arctan t^{\frac{3}{2}}}$.
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1+\frac{1}{2} \int_x^1 f(y) f(y-x) d y$, 求定积分 $I=\int_0^1 f(x) d x$.
已知函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)= e ^{-x^2}$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} x f(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty} x^3 f(x) d x$ 均收敛．
（1）判断极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 是否存在，若存在，求其值；
（2）求 $f(0)$ ．
设连续函数$f(x)$ 满足$ f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \int_x^{\frac{\pi}{2}} f(y) f(y-x) \mathrm{d} y$ ，求 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$