单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
在随机事件 $A, B, C$ 中，$A$ 和 $B$ 两事件至少有一个发生而 $C$ 事件不发生的随机事件可表示为
$\text{A.}$ $\mathrm{A} \overline{\mathrm{C}} \cup \mathrm{B} \overline{\mathrm{C}}$
$\text{B.}$ $\mathrm{AB} \overline{\mathrm{C}}$
$\text{C.}$ $\mathrm{AB} \overline{\mathrm{C}} \cup \mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{C} \cup \overline{\mathrm{A}} \mathrm{B} \mathrm{C}$
$\text{D.}$ $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \overline{\mathrm{C}}$
设随机事件 $A, B$ 满足 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ 和 $P(A \cup B)=1$ ，则有 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $A \cup B=\Omega$
$\text{B.}$ $A B=\varnothing$
$\text{C.}$ $P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$
$\text{D.}$ $P(A-B)=0$
$F(x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数，则下列仍为分布函数的是 $\_\_\_\_$
$\text{A.}$ $F(2 x-1)$
$\text{B.}$ $F(1-x)$
$\text{C.}$ $F\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $1-F(-x)$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，则 $[D(k X)]^2 \cdot E X=()$ ．
$\text{A.}$ $k^2 \lambda^2$
$\text{B.}$ $k^2 \lambda^4$
$\text{C.}$ $k^4 \lambda^2$
$\text{D.}$ $k^4 \lambda^3$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则有
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X+1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x < 1, \\ 1-e^{-x}, & x \geq 1 .\end{array}\right.$ 则 $P\{X=1\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}-e^{-1}$
$\text{D.}$ $1-e^{-1}$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.3 \Phi(x)+0.7 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则 $E(X)=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 0.3.
$\text{C.}$ 0.7 .
$\text{D.}$ 1 .
设随机变量 $Y$ 在 $(1,6)$ 上服从均匀分布，则方程 $x^2+Y x+1=0$ 有实根的概率为 。
$\text{A.}$ 0.2
$\text{B.}$ 0.4
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 0.6
设 $X \sim B(2, p), Y \sim B(4, p)$ ，且 $P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$ ，则 $P\{Y \geq 1\}=$
$\text{A.}$ $\frac{65}{81}$
$\text{B.}$ $\frac{16}{81}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{4}{7}$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}$ 为样本 $\left(X_1, X_2\right)$ 的均值，则下列 $\mu$ 的无偏估计中最有效的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{2} X_2$ ；
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{2}{3} X_2$ ；
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \bar{X}+\frac{1}{2} X_2$ ；
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} \bar{X}+\frac{2}{3} X_2$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
总体是 $X$ ，数学期望是 $\mu,\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 是简单随机样本， $a\left(X_1+X_2\right)+b\left(X_2+X_3\right)$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，则 $a+b=\frac{1}{2}$
设总体 $X \sim U(0, \theta) \quad \theta>0$ 为未知参数， $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_n$ 为其样本， $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 为样本均值，则 $\theta$ 的矩估计量为: $\qquad$ 。
设测量的随机误差 $X \sim N(0,100)$ ，则测量误差的绝对值大于 19.6 的概率为
设袋中有 50 只乒乓球，其中 20 只黄球， 30 只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率为
对同一目标接连进行 3 次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为 $\frac{7}{8}$ ，则每次射击命中目标的概率 $p=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A x+\frac{1}{2}, & 0 < x < 1 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
（1）求常数 $A$ ；
（2）求数学期望 $E(X)$ ；
（3）求方差 $D(X)$ ．
设甲袋中装有 6 只白球， 4 只红球；乙袋中装有 2 只白球， 3 只红球，今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球．问：
（1）从乙袋取到白球的概率是多少？
（2）若从乙袋中取到白球，则从甲袋中取到的也是白球的概率是多少？
已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|},-\infty < x < +\infty$ ，设 $Y= \begin{cases}1, & X>0, \\ -1, & X \leqslant 0 .\end{cases}$
（I）求 $X$ 的分布函数；
（II）求 $Y$ 的概率分布和分布函数；
设某种油漆的 9 个样本，其干燥时间（单位： h ）分别为： $6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0$ ．设干燥时间总体服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求 $\mu$ 的置信度为 $95 \%$ 的置信区间：（1）若由以往知 $\sigma=0.6 \mathrm{~h}$ ；
（2）若 $\sigma$ 未知．
某地区年龄在 20－30 岁之间的男性的体重服从正态分布，从中随机地抽取 36 位男性，算得平均体重 $68(\mathrm{~kg})$ ，样本标准差 10 。问在显著水平 $\alpha=0.05$ 下，是否可认为此地 20－30 岁之间的男性的平均体重为 70 ？并给出检验过程。（附：$t_{0.025}(35)=2.030$ ， $\left.t_{0.05}(35)=1.690 ; \quad t_{0.025}(36)=2.028, t_{0.05}(36)=1.688\right)$
设二维离散型随机变量只取 $(-1,-1),(-1,0),(1,-1),(1,1)$ 四个值，其相应概率 分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}$ ．
（1）求 $(X, Y)$ 的联合概率分布；
（2）求关于 $X$ 与关于 $Y$ 的边缘概率分布；
（3）求在 $Y=1$ 条件下关于 $X$ 的条件分布与在 $X=1$ 条件下关于 $Y$ 的条件分布．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设事件 $A, B$ 满足 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$ ，试证：$A$ 与 $B$ 独立的充要条件是 $P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1$ 。