单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) \mathrm{d} x$.
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$, 则
$\text{A.}$ $M>N>K$.
$\text{B.}$ $M>K>N$.
$\text{C.}$ $K>M>N$.
$\text{D.}$ $K>N>M$.
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}+1$ ．
$\text{B.}$ $\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$ ．
$\text{C.}$ $\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$ ．
$\text{D.}$ $(1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}-1$ ．
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^2+b x+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=1$
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-1$
$\text{D.}$ $a=\frac{2}{3}, b=1$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,1)$ 单调递增时，$f(0)$ 是极小值
$\text{B.}$ 当 $f(0)$ 是极小值时，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减时，在 $(0,1)$ 单调递增
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的时，$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增
$\text{D.}$ 当 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增时，$f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的
已知函数 $f(x)=\int_1^{x^3} \frac{e^t}{1+t^2} d t, f$ 的反函数为 $g$ ，则
$\text{A.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} e$
$\text{B.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} e$
$\text{D.}$ $g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
曲线 $y=x e^{\frac{1}{x}}$
$\text{A.}$ 无水平渐近线，无铅直渐近线
$\text{B.}$ 有水平渐近线，有铅直渐近线
$\text{C.}$ 无水平渐近线，有铅直渐近线
$\text{D.}$ 有水平渐近线，无铅直渐近线
已知函数 $f(x)=\int_1^{x^3} \frac{e^t}{1+t^2} d t, f$ 的反函数 $g$ ，则 ()
$\text{A.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} e$
$\text{B.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $g(1)=1, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} e$
$\text{D.}$ $g(1)=1, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
设 $t$ 时刻某证券的交易单价为 $p(t)$ ，某机构持有该证券的份额为 $q(t)$ ，若该机构在 $[0, T]$ 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{T} \int_0^T p(t) d t$
$\text{B.}$ $\frac{1}{q(T)-q(0)} \int_0^T p(t) d t$
$\text{C.}$ $\frac{1}{T} \int_0^T p(t) q^{\prime}(t) d t$
$\text{D.}$ $\frac{1}{q(T)-q(0)} \int_0^T p(t) q^{\prime}(t) d t$
由方程 $x y-e^x+e^y=0$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数 $y^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
若 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
$\text{A.}$ $\frac{\sin x}{x}+c$
$\text{B.}$ $\frac{1+\sin x}{x^2}+c$
$\text{C.}$ $ {\operatorname { c o s }} {x}-\frac{\mathbf{2} {\operatorname { s i n }} {x}}{ {x}}+ {c}$
$\text{D.}$ $ {\operatorname { c o s }} {x}+\frac{\mathbf{2} {\operatorname { s i n }} {x}}{ {x}}+ {c}$
下列反常积分中收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{1}{(x-1)^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^3} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+2 x+2} d x$
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} d x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^1 x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right) d x=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^p(x+1)} d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-x \sin \frac{2}{x}\right)=$
定积分 $\int_{-1}^1 \frac{2+x \cos x}{\sqrt{4-x^2}} d x=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^1 f(x) d x=0$ ，记 $a=\int_0^1 f(x) d x$ ．
（1）证明 $a>0$ ；
（2）令 $F(x)=a\left(1-x^2\right)+\int_1^x f(t) d t$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
已知函数 $g(x)$ 连续，设 $f(x)=\int_0^{x^2} g(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式，并判断 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}+\int_x^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在区间 $(a, b)$ 内二阶可导，且存在 $c \in(a, b)$ 满足 $f(a)=f(c) =f(b)=0$ ．证明：
（1）存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ 且 $\xi_1 < \xi_2$ 使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)-f\left(\xi_1\right)=f^{\prime}\left(\xi_2\right)-f\left(\xi_2\right)=0$ ；
（2）存在 $\eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)=f(\eta)$ ．
已知连续函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x)=\int_0^{3 x} f\left(\frac{t}{3}\right) d t+e^{2 x}$ ，求 $f(x)$
设 $f(x)=\int_0^x e^{-t} \cos t d t$ ，求 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值与最小值。
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[2,4]$ 上连续，在开区间 $(2,4)$ 上可导且导数大于 0 ，极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(2 x-2)}{x-2}$ 存在．证明：
（1）$f(x)$ 在区间 $(2,4)$ 上取值大于 0 ；
（2）存在 $\xi \in(2,4)$ ，使得
$$
\frac{6 f(\xi)}{\xi}=\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x
$$
（3）对上述 $\xi \in(2,4)$ ，存在 $\eta \in(2,4), ~ \eta \neq \xi$ ，使得
$$
6 f^{\prime}(\eta)=\frac{\xi}{\xi-2} \int_2^4 f(x) \mathrm{d} x
$$
（1）写出 $f(x)=\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶带佩亚诺（Peano）余项的泰勒公式．
（2）计算极限
$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left[2(1+x)^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e}(x-2)\right]
$$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，当 $0 \leq x < 1$ 时，恒有 $0 < f(1) < f(x)$ 且 $f^{\prime}(x) \neq f(x)$ 。证明 ：在 $(0,1)$ 上存在唯一的一点 $\xi$ 使 得 $f(\xi)=\int_0^{\xi} f(t) d t$ 。