单选题 （共 24 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ ，讨论函数 $f(x)$ 的间断点，其结论为
$\text{A.}$ 不存在间断点.
$\text{B.}$ 存在间断点 $x=1$
$\text{C.}$ 存在间断点 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$
$\text{D.}$ 存在间断点 $x=-1$
函数 $f(x)=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}+e\right) \tan x}{x\left(e^{\frac{1}{x}}-e\right)}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的第一类间断点是 $x=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
判定函数 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x ， f(x)$ 间断点的情况
$\text{A.}$ 有一个可去间断点，一个跳跃间断点
$\text{B.}$ 有一跳跃间断点，一个无穷间断点
$\text{C.}$ 有两个无穷间断点
$\text{D.}$ 有两个跳跃间断点
函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $f(x)=\frac{|x|^x-1 \mid}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(e^x-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$, 讨论函数 $f(x)$ 的间断点, 其结论为
$\text{A.}$ 不存在间断点.
$\text{B.}$ 存在间断点 $x=1$.
$\text{C.}$ 存在间断点 $x=0$.
$\text{D.}$ 存在间断点 $x=-1$.
设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义, $f(x)$ 为连续函数, 且 $f(x) \neq 0$, $\varphi(x)$ 有间断点, 则
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点.
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点.
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 必有间断点.
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点.
设函数 $f(x)=x\left[\frac{1}{x}\right](x>0)$, 其中 $\left[\frac{1}{x}\right]$ 表示不超过 $\frac{1}{x}$ 的最大整数, 则( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续
$\text{B.}$ $f(x)$ 只有有限个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 只有无限个跳跃间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 只有无限个可去间断点
函数 $f(x)=\frac{x(x+1) e^{\frac{1}{x}}}{\ln x^2}$ 的无穷间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{[x] \sin \frac{1}{x},} & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $[x]$ 表示对 $x$ 取整, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ( )
$\text{A.}$ 振荡间断点, 且为极值点
$\text{B.}$ 第一类间断点, 且不为极值点
$\text{C.}$ 振荡间断点, 且不为极值点
$\text{D.}$ 无穷间断点, 且为极值点
设 $f(x)=\frac{\left|x^3+x^2-2 x\right| \cdot|\ln | x| |}{x^2-1} e ^{\frac{1}{x-2}}$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)$ 有 1 个可去间断点， 2 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 1 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 2 个跳跃间断点，没有第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有 3 个可去间断点， 1 个第二类间断点
已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{ e ^{\frac{1}{x-1}}+ e ^{x-1}}{ e ^{\frac{1}{x-1}}- e ^{x-1}}$ ，则下列说法正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点，一个可去间断点和一个无穷间断点
$\text{B.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
$\text{C.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
$\text{D.}$ 记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ，则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}(x-1) \operatorname{arccot}|x|^n$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数．
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内只有一个间断点 $x=-1$ ．
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内只有一个间断点 $x=1$ ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有两个间断点 $x= \pm 1$ ．
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\ln t, \\ y=\frac{t-t^3}{\sin \pi t}\end{array}\right.$ 确定，则 $f(x)$ 有 $(\quad)$ 个可去间断点．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left( e ^{-\frac{[x] \cos \sqrt{4 n^2+1 \pi}}{x}}- e ^{n[x]}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则（ ）
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点．
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点．
设函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，$f^{\prime \prime}(0) \neq 0, f^{\prime}(0)=0$ ， $f(0)=0$ ，则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的 $\quad$ 。
$\text{A.}$ 第一类间断点．
$\text{B.}$ 连续点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点或间断点，不能由此确定．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, \\ 0, & x>\frac{\pi}{2},\end{array} F(x)=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t\right.$, 则
$\text{A.}$ $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点．
$\text{B.}$ $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点．
$\text{C.}$ $F(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处连续但不可导。
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处可导．
下列函数中，点 $x=0$ 是可去间断点的是（ ）。
（1）$f(x)=\frac{\ln |x|}{\cot x}$ ；
（2）$f(x)=\frac{\mathrm{d}\left(\int_{-1}^x g(t) \mathrm{d} t\right)}{\mathrm{d} x}$ ，其中 $g(t)= \begin{cases}1, & t \neq 0, \\ 0, & t=0 ;\end{cases}$
（3）$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n} \ln \left(1+n \mathrm{e}^{n x}\right)+\frac{\sin x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{2 n x}}\right]$ ．
$\text{A.}$ （1）（2）
$\text{B.}$ （2）（3）
$\text{C.}$ （1）（3）
$\text{D.}$ （1）（2）（3）
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 x^n-2 x^{-n}}{2 x^n+x^{-n}} \cos \frac{1}{x^2}$ ，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 两个第一类间断点．
$\text{B.}$ 三个第一类间断点。
$\text{C.}$ 两个第一类间断点和一个第二类间断点。
$\text{D.}$ 一个第一类间断点和一个第二类间断点．
已知函数 $f(x)=\frac{\left(x^2+a^2\right)(x-1)}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+b}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=0, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a \neq 0, b=-\mathrm{c}$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b=-\mathrm{e}$ ．