单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t, g(x)=x^3$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小；
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小；
$\text{C.}$ 高阶无穷小；
$\text{D.}$ 低阶无穷小。
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x d x, N=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) d x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) d x$,则 M、N、P 的大小关系为
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $F(x)=\int_{\arccos x}^{\ln x} f(t) d t$ ，则 $F^{\prime}(x)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 连续，且对任意实数 $x, h$ 满足 $f(x+h)=\int_x^{x+h} t\left[f(t+h)+t^2\right] d t+f(x)$ $\lim _{x \rightarrow 0}[1+f(x)]^{\frac{1-}{x^4}}=a(a>0)$ ，求 $f(x)$ 的表达式及常数 $a$
设 $I=\int_0^2 \frac{x}{e^x+e^{2-x}} d x$ ．
（I）证明 $I=\int_0^2 \frac{1}{e^t+e^{2-t}} d t$ ；
（II）求积分 $I$ 的值．
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，$f(1)=3$ ，又 $\forall x, y \in(0,+\infty)$ ，恒有
$$
\int_1^{x y} f(t) d t=y \int_1^x f(t) d t+x \int_1^y f(t) d t,
$$
求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续，对于任意正数 $a, b$ ，积分 $\int_a^{a b} f(x) d x$ 与 $a$无关，且 $f(1)=1$ ，求 $f(x)$ ．
已知函数 $f(x)$ 为连续函数，且
$$
\int_0^{2 x} x f(t) d t+2 \int_x^0 t f(2 t) d t=2 x^3(x-1)
$$
求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值与最小值．
设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续非负函数，且
$$
f(x) \cdot \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x,
$$
求 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的平均值
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}+\int_x^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]$ ．
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$
设函数 $S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ ，
（I）当 $n$ 为正整数，且 $n \pi \leqslant x < (n+1) \pi$ 时，证明： $2 n \leqslant S(x) < 2(n+1)$ ；
（II）求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$ ．