单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$, 则必定存在一个 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调增加, 在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调减少.
$\text{B.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调减少,在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调增加.
$\text{C.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凸的.
$\text{D.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凹的.
函数 $f(x)=\frac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)=|x|$, 则函数在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且可导
$\text{B.}$ 连续且可微
$\text{C.}$ 连续不可导
$\text{D.}$ 不连续不可微
如果 $f(x)$ 在 $x$ 处可微, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-\mathrm{d} y}{\Delta x}$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数,则 $x=0$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{[x]}{x}}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷型间断点
$\text{D.}$ 无限振荡型间断点
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{C.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小, 则 $k=$
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4 .
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
$\text{E.}$ $\sqrt{e}$.
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内无界的 ( ) 条件。
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充分必要
$\text{D.}$ 无关
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\
x^2, x>1
\end{array}\right.
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左，右导数都存在．
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在．
$\text{D.}$ 左，右导数都不存在．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^2-\cos x}{\sin ^2 x}$.
函数 $f(x)=\frac{\sqrt{1+2 x}-1}{x(x+1)(x-2)}$ 的无穷间断点为 ________ , $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\cos x+\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)^{\frac{x}{\arctan x-x}}=$
$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{|x|}{1+\sin x} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2}\left(1+\cos \frac{i \pi}{n}\right)^2=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^2+3 x+1\right)}{\ln \left(x^3+2 x+1\right)}$;
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[(\cos x)^{\sin x}-1\right]}{x^3}$ 之值.
设 $f\left(x^2-1\right)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$ ，且 $f[\varphi(x)]=\ln x$ ，求 $\varphi(x)$
函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界？这个函数是否为当 $x \rightarrow+\infty$ 时的无穷大？为什么？
(附加题,不计入总分可用于评判A+) 已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（I）$f(x)>0$ ；
（II）$f(1)=1, f(x+1)=x f(x)$ ；
（III）$\varphi(x)=\ln f(x)$ 是下凸函数．
试证：$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} \quad(0 < x < 1)$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设一元函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b](a < b)$ 上二阶可导，满足：
$$
f(a)=f(b)=f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0
$$
且当 $x \in[a, b]$ 时，$\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$（ $M$ 为一个正数），证明：
$$
|f(x)| \leq \frac{M}{16}(b-a)^2, x \in[a, b] .
$$