单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\cos x(x+|\sin x|)$, 则在 $x=0$ 处有 $($ ).
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=2$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(x)$ 不可导.
设 $\alpha(x)=\frac{1-x}{1+x}, \beta(x)=3-3 \sqrt[3]{x}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时 $($ )
$\text{A.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小, 但不是等价无穷小;
$\text{B.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$是等价无穷小;
$\text{C.}$ $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶的无穷小;
$\text{D.}$ $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小.
若 $F(x)=\int_0^x(2 t-x) f(t) d t$, 其中 $f(x)$ 在区间上 $(-1,1)$ 二阶可导且 $f ^{\prime}( x )>0$, 则 ( ).
$\text{A.}$ 函数 $F(x)$ 必在 $x=0$ 处取得极大值;
$\text{B.}$ 函数 $F(x)$ 必在 $x=0$ 处取得极小值;
$\text{C.}$ 函数 $F(x)$ 在 $x=0$ 处没有极值, 但点 $(0, F(0))$ 为曲线 $y=F(x)$ 的拐点;
$\text{D.}$ 函数 $F(x)$ 在 $x=0$ 处没有极值, 点 $(0, F(0))$ 也不是曲线 $y=F(x)$ 的拐点。
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_0^1 f(t) d t$, 则 $f(x)= $
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{2}+2$
$\text{C.}$ $x-1$
$\text{D.}$ $x+2$.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
已知 $\frac{\cos x}{ x }$ 是 $f(x)$ 的一个原函数,则 $\int f(x) \cdot \frac{\cos x}{x} d x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{n}\left(\cos ^2 \frac{\pi}{n}+\cos ^2 \frac{2 \pi}{n}+\cdots \quad \frac{n-1}{n} \pi\right)=$
$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^2 \arcsin x+1}{\sqrt{1-x^2}} d x=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\sin (x y)=1$ 确定, 求 $y^{\prime}(x)$ 以及 $y^{\prime}(0)$.
求 $\int \frac{1-x^7}{x\left(1+x^7\right)} d x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x e^{-x}, & x \leq 0 \\ \sqrt{2 x-x^2}, & 0 < x \leq 1\end{array}\right.$ 求 $\int_{-3}^1 f(x) d x$.
设函数 $f(x)$ 连续, $g(x)=\int_0^1 f(x t) d t, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A, A$ 为常数. 求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
求微分方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解.
已知上半平面内一曲线 $y=y(x) \quad(x \geq 0)$, 过点 $(0,1)$, 且曲线上任一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处切线斜率数值上等于此曲线与 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $x=x_0$ 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和, 求此曲线方程.
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线, 该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D .
(1) 求 D 的面积 A ;
(2) 求 D 绕直线 $x = e$ 旋转一周所得旋转体的体积 V.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减, 证明对任意的 $q \in[0,1]$, $\int_0^q f(x) d x \geq q \int_0^1 f(x) d x$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 且 $\int_0^\pi f(x) d x=0 \int_0^\pi f(x) \cos x d x=0$,证明: 在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$, 使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$. (提示: 设 $F(x)=\int_0^x f(x) d x$ )