填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (1+x) \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的值。
设常数 $a>0, a \neq 1$, 已知 $f(x)=a^{\ln x}+(\ln x)^a$, 求导数 $f^{\prime}(x)$ 。
求不定积分 $\int\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}+\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\right) d x$ 。
求由方程 $y+x e^y=1$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 在 $x=1$ 处的一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 。
求形式为 $z=a+b x^2+c y^2$ 的曲面方程, 使该曲面过点 $M_0(1,-1,4)$ 和曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=3-2 x^2 \\ y=2\end{array}\right.$, 并指出该曲面的名称。
计算行列式 $\left|\begin{array}{rrr}1 & x+1 & x^2+1 \\ 1 & 2 x+2 & 2 x^2+4 \\ 1 & 3 x+3 & 3 x^2+9\end{array}\right|$ 。
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $O x y$ 平面内曲线 $\left(x^2+y^2\right)^3=2 x y^3$ 所围区域的面积 $A$ 。
已知 $f(x)=\int_0^4|t-x| d t$, 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=3$ 处的切线方程。
水平安置半径为 $R$ 的半球形水池中盛满了水, 水池球形底部中心有一个半径为 $\frac{R}{5}$ 的圆孔，按流速公式 $v=\sqrt{2 g h}$ ( $h$ 为池中水深)，计算池中的水全部流完所需的时间 $T$ 。
求过直线 $L:\left\{\begin{array}{r}2 x-y-z+1=0 \\ x+y-z-1=0\end{array}\right.$ 且与点 $M_0(1,-1,0)$ 距离最远的平面 $\Pi$ 的一般方程。
证明：当 $|x| < 1$ 时, $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{3}{2} x^2$ 。
已知矩阵 $X$ 满足 $2 X=A X + B$, 且 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, 求 $X$ 。
设 $p$ 为常数, 讨论反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^2\right)\left(1+x^p\right)} d x$ 的敛散性, 若收敛, 求该反常积分的值。
已知 $a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}, n=1,2, \cdots$, 讨论数列 $\left\{a_n\right\}$的敛散性。