解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限: $\lim _{\alpha \rightarrow 0} \int_0^1 \frac{d x}{1+x^2 \cos \alpha x}$.
计算: $I=\int_0^1 \frac{x^b-x^a}{\ln x} d x$, 其中 $b>a>0$.
计算: $\int_0^\pi \ln (2+\cos x) d x$
设 $\Phi(x)=\int_x^{x^2} \frac{\sin (x y)}{y} d y$, 求 $\Phi^{\prime}(x)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x d t \int_t^{\frac{x}{2}} e^{-(t-u)^2} d u}{1-e^{-\frac{x^2}{4}}}$.
证明题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明 $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} d x$ 关于 $\alpha \in[1,+\infty)$ 一致收敛.
证明 $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} d x$ 关于 $\alpha \in[1,+\infty)$ 一致收敛.
(Dirichlet 积分) 计算: $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$
(Dirichlet 积分) 计算: $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$
计算积分: $\int_0^{+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^n d x$.
计算积分: $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x \ln x}{x} d x=-\frac{\gamma \pi}{2}$.