单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $z=-\sqrt{12}-2 i$ ，则 $\arg z=$ ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{5 \pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{2 \pi}{3}$
设 $f(z)=x^2+2 y i$ ，则以下结论正确的是
$\text{A.}$ $f(z)$ 处处解析；
$\text{B.}$ $f(z)$ 在除 $x=1$ 外处处解析；
$\text{C.}$ $f(z)$ 仅在 $x=1$ 上解析
$\text{D.}$ $f(z)$ 处处不解析．
设 C 为自原点沿抛物线 $y=x^2$ 到 $z_0=1+i$ 的曲线，则 $\oint_C \bar{z} d z=$ ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $1+i$
$\text{C.}$ $1+\frac{i}{3}$
$\text{D.}$ $1-i$
下列级数中，条件收敛的级数是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n}\left(1+\frac{i}{n}\right)$ ；
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4-3 i)^n}{n!}$ ；
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (i n)}{2^n}$ ；
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n i^n}{2^n}$
$ \operatorname{Res}\left[\frac{1-e^{2 z}}{z^2}, 0\right]= $.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ －1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ －2
设 $Z [f(t)]=F(\omega)$ ，则 $Z [(2-3 t) f(t)]= $
$\text{A.}$ $2 F(\omega)-3 F^{\prime}(\omega)$ ；
$\text{B.}$ $-3 F^{\prime}(\omega)-2 F(\omega)$
$\text{C.}$ $2 F(\omega)-3 i F^{\prime}(\omega)$
$\text{D.}$ $-3 i F^{\prime}(\omega)-2 F(\omega)$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
方程 $e^z=1+\sqrt{3} i$ 的全部解为 $z=\ln 2+\left(\frac{\pi}{3}+2 k \pi\right) i, k \in Z$
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{z^{n+1}}{n}$ 在收敛域内的和函数 $s(z)=$
级数 $\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z}+z+z^2+\cdots$ 的收敛域是
设 $z=i$ 为函数 $f(z)=\frac{z}{\left(z^2+1\right)\left(e^{\pi z}+1\right)}$ 的 $m$ 级极点，则 $m=$
设 $f(z)=\oint_{|\xi|=4} \frac{e^{\xi}}{\xi-z} d \xi(|z| \neq 4$ ，积分圆周取正向 $)$ ，则 $\left|f^{\prime}(\pi i)\right|=-2 \pi i$ ．
设 $u(t)$ 为单位阶跃函数，$F(\omega)=$
设 $F(s)=\frac{s^2}{s^2-1}$ ，则 $L ^{-1}[F(s)]=$ ．
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\oint_{|z|=3} \frac{e^z-1}{z^2} d z$
$\oint_{|z|=\pi} \tan z d z$ ．
$\oint_{|z|=1} z^{2021} \cos \frac{1}{z} d z$
$\oint_{|z|=\frac{\pi}{2}} \frac{1}{z^n-1} d z$（ $n$ 为大于 2 的整数）．
把函数 $f(z)=\frac{1}{z^2(z-i)}$ 在圆环域 $1 < |z-i| < +\infty$ 内展开成洛朗级数．
．已知 $u(x, y)-v(x, y)=(x-y)\left(x^2+4 x y+y^2\right)$ ，试构造解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ ．
(利用拉普拉斯变换解答) 计算积分： $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}-e^{-2 t}}{t} d t$ ．
(利用拉普拉斯变换解答) 计算积分 求解微分方程：$y^{\prime \prime}(t)+y(t)=t, y(0)=1, y^{\prime}(0)=4$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $C$ 为单连通区域 $D$ 内的一条正向简单闭曲线，$z_0 \neq 0$ 为 $C$ 内一点，函数 $f(z)$在 $D$ 内解析，$f\left(z_0\right)=0, f^{\prime}\left(z_0\right) \neq 0$ ，且在 $C$ 内 $f(z)$ 无其他零点．证明：
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{z f^{\prime}(z)}{f(z)} d z=z_0
$$