解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $\left(e^{x+y}-e^x\right) d x+\left(e^{x+y}+e^y\right) d y=0$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime} \sin x=y \ln y$ ，满足初始条件 $\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=e$ 的特解．
解微分方程 $x y^{\prime}+y \ln y=0$ ；
解方程 $y^{\prime}-x y^{\prime}=a\left(y^2+y^{\prime}\right)$ ；
解方程 $y^{\prime}=e^{2 x-y},\left.y\right|_{x=0}=0$ ；
解方程 $x d y+2 y d x=0,\left.y\right|_{x=2}=1$ ．
解方程 $\left(x y-y^2\right) d x-\left(x^2-2 x y\right) d y=0$ ．
求齐次方程 $x \frac{d y}{d x}=y \ln \frac{y}{x}$ 的通解
求齐次方程 $\left(y^2-3 x^2\right) d y+2 x y d x=0,\left.y\right|_{x=0}=1$ 满足所给初始条件的特解
求方程 $\frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x+1}=(x+1)^{\frac{3}{2}}$ 的通解．
$\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ ．
解方程 $\frac{d y}{d x}+y=e^{-x}$ ；
$x y^{\prime}+y=x^2+3 x+2$ ；
$\frac{d y}{d x}-y \tan x=\sec x,\left.\quad y\right|_{x=0}=0$ ；
$\frac{d y}{d x}+y \cot x=5 e^{\cos x},\left.\quad y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4$ ；
验证 $y_1=\cos w x$ 及 $y_2=\sin w x$ 都是 $y^{\prime \prime}+w^2 y=0$ 方程的解，并写出该方程的通解．
验证 $y_1=e^{x^2}$ 及 $y_2=x e^{x^2}$ 都是方程 $y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+\left(4 x^2-2\right) y=0$ 的解，并写出该方程的通解．
验证 $y=C_1 \cos 3 x+C_2 \sin 3 x+\frac{1}{32}(4 x \cos x+\sin x) \quad\left(C_1, \quad C_2\right.$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}+9 y=x \cos x$ 的通解．