单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 为两个随机事件，则（ ）。
$\text{A.}$ $P(A B)+P(\bar{A} \bar{B}) \leqslant 1$
$\text{B.}$ $P(A B)+P(\bar{A} \bar{B}) \geqslant 1$
$\text{C.}$ $P(A-B) \leqslant P(A)-P(B)$
$\text{D.}$ $P(A \cup B)+P(\bar{A} \cup \bar{B}) \leqslant 1$
设随机事件 $A, B$ 满足 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ 和 $P(A \cup B)=1$ ，则有 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $A \cup B=\Omega$
$\text{B.}$ $A B=\varnothing$
$\text{C.}$ $P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$
$\text{D.}$ $P(A-B)=0$
某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A, B, C$ 是三个随机事件，$A$ 与 $C$ 互斥，$P(A B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}$ ，则 $P(A B \mid \bar{C})=$
$\qquad$
从 $1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $X$ ，再从 $1, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 $Y$ ，则 $P\{Y=2\}=$ $\qquad$ ．
一批产品有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 $\qquad$
设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有 $25 \%$ 不合格．从两批产品中任取 1 只，经检验是正品，放回原处，并从原所在批次再取 1 只，求这只产品是次品的概率
对同一目标接连进行 3 次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为 $\frac{7}{8}$ ，则每次射击命中目标的概率 $p=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将 $n$ 个球随机放人 $N(n \leqslant N)$ 个盒子中，每个盒子可以放任意多个球．求下列事件的概率：$A=\{$ 某指定 $n$ 个盒子各有一球 $\} ; B=\{$ 恰有 $n$ 个盒子各有一球 $\} ; C=\{$ 指定 $k(k \leqslant n)$ 个盒子各有一球 $\}$ ．
袋中有 5 个球， 3 个白球， 2 个黑球。
（1）先后有放回取 2 个球；
（2）先后无放回取 2 个球；
（3）任取 2 个球．
求取的 2 个球中至少 1 个是白球的概率．
袋中有 100 个球， 40 个白球， 60 个黑球．
（1）先后有放回取 20 个球，求取出 15 个白球， 5 个黑球的概率；
（2）先后无放回取 20 个球，求取出 15 个白球， 5 个黑球的概率；
（3）先后有放回取 20 个球，求第 20 次取到白球的概率；
（4）先后无放回取 20 个球，求第 20 次取到白球的概率．
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 0.5 的概率为