单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=- e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e ^{-1}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x=( D )$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ $e ^{b-a}$
$\text{D.}$ $e ^{a-b}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{3}{\sin x}}=$
$ \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right)^x$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(-1)^n}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，$f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且有 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}= e ^{\frac{1}{x}}$ ，求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)= e$ ．又 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]$ ，确定常数 $\alpha$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=$ e．又 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]$ ，确定常数 $\alpha$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+\alpha-1}{x-\alpha}\right)^x=\int_0^{+\infty}(2-t) e ^{-t} d t$ ，确定 $\alpha$ 的值．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(x+a)^{x+b}(x+b)^{x+a}}{(x+a+b)^{2 x+a+b}}$ ．
$ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(30 x^{100}+2 x^{10}-3 x+2\right)}{\ln \left(x^{10}+2 x+3\right)}\left(\frac{\infty}{\infty}\right)=$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\cos x-\cos 2 x}{x^2}, x < 0 \\ A, x=0 \\ \frac{\sin x-B \int_0^x e ^{-t^2} d t}{x}, x>0\end{array}\right.$ 处处连续，试确定常数 $A, B$ 的值．
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1+ e ^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$ ．