《高等数学解题指南》-未定式求极限的方法

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《高等数学解题指南》-未定式求极限的方法

一、解答题（共 21 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x (1 - \cos \sqrt{x})}

;

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lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x \ln (1 + x) - x^{2}}

;

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lim_{x \to 0} \frac{[\sin x - \sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}

;

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lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{2}} (\sqrt[3]{x + 8} - \sqrt[3]{x + 1})

;

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lim_{x \to a} \frac{\sqrt{x - a} - (\sqrt{x} - \sqrt{a})}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}

;

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lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin x^{2} + e^{x}) - x}{\ln (x^{2} + e^{2 x}) - 2 x}

;

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lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - e}{\arcsin (1 - \sqrt{1 + x})}

;

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8. 求极限：

lim_{x \to 1} \frac{\ln (1 + \sqrt[3]{x - 1})}{\arcsin \sqrt[3]{x^{2} - 1}}

；

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9. 已知

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \frac{f (x)}{\tan x})}{2^{x} - 1} = 2

，则

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x^{2}} =

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10. 求极限

lim_{n \to \infty} (\sqrt{1 + 2 + \dots + n} - \sqrt{1 + 2 + \dots + (n - 1)})

；

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11. 求极限

lim_{x \to \infty} [x - x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x})]

．

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12. 设函数

f (x)

在

x = 1

的某邻域内连续，且

f (1) = 0, f^{'} (1) = 3

，则

lim_{x \to 0} \frac{f (\sin x^{2} + \cos x)}{x^{2}} =

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13. 设

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

，求

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + f (e^{x^{2}})} - \sqrt{1 + 3 f (1 - \sin x^{2})}}{\ln \cos x}

．

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14. 设

f (x)

在点

x = 1

的邻域内具有二阶连续导数，

f (1) = 0, f^{'} (1) = 6

，试计算

lim_{x \to 1} \frac{\int_{x}^{1} (t \int_{t}^{1} f (u) d u) d t}{(x - 1)^{3}}

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15. 设

y = f (x)

在点

x = 1

处的切线方程为

y = x - 1

，计算

I = lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} e^{t} f (1 + e^{x^{2}} - e^{t}) d t}{x^{2} \ln \cos x}

．

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16. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^{2} x} - \frac{\cos^{2} x}{x^{2}})

；

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17.

lim_{x \to \infty} [x - x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x})]

．

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18. 求极限求

lim_{x \to \infty} x^{2} (1 - x \sin \frac{1}{x}) (\infty .0)

；

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19. 求

lim_{x \to \frac{π}{2}} (2 x - π) (\tan^{2} x + 1) (0 \cdot \infty)

．

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20. 求

lim_{x \to 0^{+}} {(e^{x} - 1)}^{\ln (1 + \tan x)}

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21. 求

lim_{x \to \infty} {(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{\frac{1}{x}} (\infty^{0})

．

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