单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 为连续函数，$F(t)=\int_1^t d y \int_y^t f(x) d x$ ，则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$
$\text{B.}$ $f(2)$
$\text{C.}$ $-f(2)$
$\text{D.}$ 0
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$I=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x+\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x$;
$I=\int_0^{2 a} d x \int_{\sqrt{2 a x-x^2}}^{\sqrt{2 a x}} f(x, y) d y,(a>0)$;
$I=\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x$;
$I=\int_0^1 d y \int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{2-y} f(x, y) d x$ ．
$I=\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x-\int_1^2 d y \int_{\sqrt{y}}^y f(x, y) d x-\int_2^4 d y \int_{\sqrt{y}}^2 f(x, y) d x$ ．
$I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{2 a \cos \theta} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho,(a>0)$.
$\int_0^1\left(\int_{x^2}^1 \frac{x y}{\sqrt{1+y^3}} d y\right) d x$ ；
$\int_0^1 \frac{x^b-x^a}{\ln x} d x,(0 < a < b)$ ；
$\int_0^2 d x \int_x^2 e ^{-y^2} d y$ ；
$\int_1^2 d x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} d y+\int_2^4 d x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} d y$ ．
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $I=\int_1^2 d x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} d y+\int_2^4 d x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} d y$ ．
$\int_0^1 \frac{x^b-x^a}{\ln x} d x, \quad(b>a>0)$ ；
$\iint_D x^2 e ^{-y^2} d x d y, D$ 是由 $(0,0),(1,1),(0,1)$ 所围成的三角形；
$\iint_D \frac{ e ^{x y}}{x^x-1} d x d y, D$ 是由曲线 $y=\ln x, x=2$ 及 $x$ 轴所围的图形；
$\int_0^1 d y \int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} x d x$ ；
$\iint_D \frac{x^2}{y^2} d x d y, D$ 是由 $x y=1, y=x$ 及 $x=3$ 所围成的图形．
求由曲面 $z=x y, z=x+y, x+y=1$ 及 $x=0, y=0$ 所围成的形体的体积．
计算 $I=\iint_D e ^{\frac{y}{x+y}} d x d y, D$ 是由 $x+y=1, x=0, y=0$ 所围成的三角形区域．
计算 $\iint_D(x+y) d \sigma$ ，其中 $D$ 由 $x^2+y^2 \leqslant x+y$ 所确定．
计算 $\iint_D y d x d y$ ，其中 $D$ 由 $x=-2, y=0, y=2$ 及曲线 $x=-\sqrt{2 y-y^2}$ 所围成．
设 $D$ 是全平面，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,-1 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，计算 $\iint_D f(x) f\left(x^2-y\right) d \sigma$ ．