单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，而
$$
s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x d x, n=0,1,2, \cdots$ ，则 $s\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将函数展开成幂级数． $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^2}$ ，在点 $x=0$ 处；
将函数展开成幂级数．$f(x)=\frac{1}{x^2-2 x-3}$ ，在点 $x=2$ 处；
将函数展开成幂级数．$f(x)=\sin x$ ，在点 $x=\frac{\pi}{4}$ 处；
将函数展开成幂级数 $f(x)=\frac{1}{(x+2)^2}$ ，在点 $x=-1$ 处．
求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^n}$ 的和函数．
求幂级数的和函数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}$
求幂级数的和函数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{n+1}{(2 n+1)!} x^{2 n+1} ;$
求幂级数的和函数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$
设 $f(x)=2+x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，求 $f(x)$ 的以 2 为周期的余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x,-\pi \leqslant x \leqslant 0 \\ 3,0 < x < \pi\end{array}, s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n=$