单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1 \\ \ln x, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数是（ ）
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int \frac{\arctan x}{1+x^2} d x$
$\int x^2 \sqrt{x^3-a^2} d x$
$\int \sin x \cos ^3 x d x$ ．
不定积分 $\int \frac{ e ^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x=$
不定积分 $\int \frac{1}{ e ^x+ e ^{-x}} d x=$ $\qquad$ ．
$\int \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^4 x} d x=$
$\int \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}} d x$
$\int \frac{1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}} d x$
不定积分 $\int \sqrt{1- e ^{-2 x}} d x=$ $\qquad$
不定积分 $\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2-1}} d x=$
$\int \frac{x+3}{x^2-5 x+6} d x$
$\int \frac{d x}{x\left(1+x^n\right)}$ 其中 $n>1$ 且为正整数
不定积分 $\int \frac{ d x}{(1+\sqrt[3]{x}) \sqrt{x}}=$
不定积分 $\int \frac{1}{ e ^x- e ^{-x}} d x=$
$\int\left(3 x^2+x-1\right) \cos x d x$
不定积分 $\int \frac{\ln (x+1)}{2 \sqrt{x}} d x=$
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\sin x}{x}$ ，求 $I=\int x f^{\prime}(x) d x$ ．
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\sin x}{x}$ ，求 $I=\int x f^{\prime}(x) d x$ ．
不定积分 $\int \arcsin x d x=$ $\qquad$ ．
不定积分 $\int \arctan x d x=$ $\qquad$。
$\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x=$
求不定积分 $\int \frac{1}{x^4 \sqrt{1+x^2}} d x$