填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2+x-x^2}}$ ，则 $f(x)$ 的定义域为
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\tan x-x$ 是与 $x^n$ 同阶的无穷小，则 $n=$
设 $y=\frac{1}{2} \arctan \frac{2 x}{1-x^2}$ ，则 $\frac{ d y}{d x}=$
设 $y=\sqrt[x]{x}, x>0$ ，则 $y^{\prime}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^x- e ^{-x}-2 x}{x-\sin x}=$
函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right),\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{4}\right)$ 的最小值是
设 $f(x)$ 的一个原函数是 $\frac{1}{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
微分方程 $\frac{\left(1+ e ^x\right)}{y} y^{\prime}= e ^x$ 的通解为
设方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=f(x)$ 有特解 $y^{\star}$ ，则其通解为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e ^{a x}, & x \leqslant 0 \\ b(1-x), & x>0\end{array}\right.$ ，求 $a, b$ 使函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
求函数 $y=\frac{x+1}{x^2}$ 的单调区间，极值及其图形的凹凸区间．
计算不定积分 $ \int \frac{x^2+\ln x}{x} d x$ ．
计算定积分 $\int_{\frac{1}{2}}^1 e ^{\sqrt{2 x-1}} d x$ ．
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x} d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$ 的通解．
抛物线 $x=\sqrt{1-y}$ 与直线 $x=0, x=2, y=0$ 所围成图形为 $D$ ．（1）求 $D$ 的面积；（2）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体体积．
证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ ．
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x) < 1$ ，证明：
$$
F(x)=2 x-1-\int_0^x f(t) d t
$$
在区间 $(0,1)$ 内只有一个零点．