填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\vec{a}=2 \vec{i}+3 \vec{j}-\vec{k}, \vec{b}=\vec{i}+\vec{j}+2 \vec{k}, \vec{c}=\vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k}$ ，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}+(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}=$
母线平行于 $y$ 轴且通过曲线
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^2+y^2+z^2=16 \\
x^2+z^2-y^2=0
\end{array}\right.
$$
的柱面方程是 $\qquad$
极限 $ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\ln \left(1+x^2+y^2\right)}{2\left(x^2+y^2\right)}=$
设 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
球面 $x^2+y^2+z^2=11$ 在点 $(1,1,3)$ 处的切平面方程为
函数 $u=x^2 y z$ 在附加条件 $x+y+z=8$ 下的极大值是
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} d x d y=$
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$ 的收敛性为 $\qquad$ （绝对收敛、条件收敛、发散）．
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^2}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求过点 $(1,2,0)$ 且与两平面 $x+2 y+2 z=1$ 和 $x+y-3 z=2$ 平行的直线方程．
设 $z=f\left(x+y, \frac{x}{y}\right)$ ，且 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算 $\iint_D \max \{x, y\} d x d y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
计算曲线积分 ${ }^{+} \int_L 18 y d s$ ，其中 $L$ 是曲线 $y=x^3$ 上点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧．
计算 $\iiint_{\Omega} z d x d y d z$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $x^2+y^2=2 z$ 以及平面 $z-2$ 所围成的闭区域．
计算 $\iint_{\Sigma} x z d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 是柱面 $x^2+z^2=1$ 被平面 $y=0$ 及 $y=2$ 所截得的在第一卦限的部分的外侧．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+1} x^n$ 的收敛域及和函数．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $(a, b)$ ，终点为 $(c, d)$ ．记
$$
\begin{aligned}
I= & \int_L \frac{1}{y}\left[1+y^2 f(x y)\right] d x \\
& +\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] d y
\end{aligned}
$$
证明：
（1）曲线积分 $I$ 与路径无关；
（2）当 $a b=c d$ 时，$I=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}$ ．