单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个样本，其中 $\mu$ 未知，$\sigma^2>0$ 已知，则下列不是统计量的是（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{n}\left(X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{1}{\sigma^2}\left(X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2\right)$
$\text{C.}$ $\left(X_1-\mu\right)^2+\left(X_2-\mu\right)^2+\cdots+\left(X_n-\mu\right)^2$
$\text{D.}$ $\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$
设总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(0,3^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_9$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_9$ 分别为来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，则统计量 $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_9}{\sqrt{Y_1^2+Y_2^2+\cdots+Y_9^2}}$
$\text{A.}$ $\chi^2(8)$
$\text{B.}$ $\chi^2(9)$
$\text{C.}$ $t(8)$
$\text{D.}$ $t(9)$
设总体 $X \sim N\left(1,2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的一个样本，则（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}-1}{2} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}-1}{4} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-1}{2 / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$ ．
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的简单随机样本，记
$$
X=a\left(X_1-2 X_2\right)^2+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2
$$
则当 $a=$ $\qquad$ ，$b=$ $\qquad$时，统计量 $X$ 服从 $\chi^2$ 分布，其自由度为 $\qquad$ （ $a b \neq 0$ ）
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 是来自正态总体 $N(0,9)$ 的简单随机样本，则统计量
$$
Y=\frac{1}{2} \cdot \frac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}
$$
服从参数为 $\qquad$的 $\qquad$分布．
设总体 $X \sim N\left(\mu \sigma^2, X_1, X_2, \cdots, X_n\right.$ 为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=\quad, D\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X \sim E(\lambda)$ ，则来自总体 $X$ 的样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合概率密度 $f_n\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=$
已知 $X \sim \chi^2(n)$ ，证明：$E X=n, D X=2 n$ ．