单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x & x & 1 & 2 \\ 1 & x & 1 & -1 \\ 3 & 2 & x+2 & 1 \\ x & 1 & 0 & x\end{array}\right|$ ，那么 $f(x)$ 中 $x^4$ 和 $x^3$ 的系数分别为 () 。
$\text{A.}$ $-2,-4$
$\text{B.}$ $-2,4$
$\text{C.}$ 2,0
$\text{D.}$ 2,4
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求排列 $135 \cdots(2 n-1) 24 \cdots(2 n)$ 的逆序数．
已知 $a_{12} a_{2 i} a_{35} a_{4 j} a_{51}$ 是 5 阶行列式中带正号的项，试问 $i, j$ 应该取何值？
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|$ ．
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1\end{array}\right|=$
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素余子式之和为
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
a_1 & 0 & 0 & b_1 \\
0 & a_2 & b_2 & 0 \\
0 & b_3 & a_3 & 0 \\
b_4 & 0 & 0 & a_4
\end{array}\right|
$$
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素余子式之和为
已知 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & -1 \\ -2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 0 & 6\end{array}\right|$ ，求（1）$A_{12}-2 A_{22}+3 A_{32}-4 A_{42}$ ；（2）$A_{31}+2 A_{32}+A_{34}$ ．
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -4 \\ 4 & 9 & 1 & 16 \\ 8 & 27 & 1 & -64\end{array}\right|=$ $\qquad$
计算4 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 8 \\ 8 & 1 & 2 & 4 \\ 4 & 8 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 8 & 1\end{array}\right|$ 。
证明
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
2 & -1 & & \cdots & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
& -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{array}\right|=n+1
$$
$\lambda$ 为何值时，方程组
$$\left\{\begin{array}{c}
x_1+x_2+x_3=1 \\
x_1+2 x_2+x_3=2 \\
x_1+x_2+\lambda x_3=\lambda
\end{array}\right.
$$
有唯一解？当 $\lambda=3$ 时，求$ x_1$