解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对不同的实数 $a$ ，讨论方程 $x \ln x=a$ 有几个实根
设 $P_n(x)$ 为一个 $n$ 次多项式，证明方程 $e ^x-P_n(x)=0$ 至多有 $n+1$个不同的根．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，且当 $x>a$ 时，$f^{\prime}(x)>k>0$ ，其中 $k$ 为常数，求证：若 $f(a) < 0$ ，则方程 $f(x)=0$ 在区间 $\left(a, a-\frac{f(a)}{k}\right)$ 内有且仅有一个实根
证明方程 $x^3+x=\frac{a^2}{2 \arctan a}$ 在区间（ $0, a$ ）,$a>0$