单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
交换积分次序，则二次积分 $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{\sqrt{x}}^x f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_x^{\sqrt{x}} f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^2}^x f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_x^{x^2} f(x, y) d y$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
利用二重积分的定义计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{j}{n^2 \sqrt{n^2+i^2}}$
比较二重积分 $I_1=\iint_D\left(x+y^2\right)$ at 与 $I_2=\iint_D(x+y)^3 d \sigma$ 的大小，其中 $D$ 是由圆周 $(x-2)^2+(y-1)^2=2$ 围成．
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iint_{z^2+y^2 \leq t^2}\left(1+2 x+x y+y^2\right) d \sigma}{t^2}$ ．
计算积分 $\iint_D x \sqrt{y} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt{x}, y=x^2$ 所围成的闭区域．
计算积分 $\iint_D \frac{x^2}{y^2} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=\frac{1}{x}, x=2$ 所围成的闭区域．
求 $\iint_D e^{-y^2} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=1$ 以及 $y$ 轴所围成的闭区域．
计算二重积分 $\iint_D \sqrt{y^2-x y} d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=1, x=0$ 所围成的闭区域。
计算二重积分 $\iint_D\left|y-x^2\right| d x d y$ ，其中 $D:-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ．
计算二重积分 $\iint_D \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $x^2+y^2=1, y=0, x=0$ 所围成的区域在第一象限部分．
设平面区域 $D=(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ ，求 $\iint_D \frac{y \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y} d x d y$ ．