填空题 （共 19 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $4 \times 4$ 阶矩阵 $A$ 的行列式为 $|A|=3, A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=$
设 $\boldsymbol{A}_{n \times n}$ 与 $\boldsymbol{B}_{m \times m}$ 均可逆，则 $\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A} & 0 \\ 0 & \mathbf{B}\end{array}\right)$ 也可逆，且 $\boldsymbol{C}^{-1}=$
设 $A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$ ，且 $A X-E=3 X$ ，则 $\mathrm{X}=$
矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 4 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 3\end{array}\right]$ 的秩为
向量 $\alpha=(-1,0,3,-5), \beta=(4,-2,0,1)$ ，其内积为
$n$ 阶方阵 $A$ 的列向量组线性无关的充要条件是
给定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & b\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，则 $a, b$ 满足关系式
已知向量组 $(\mathrm{I})$ 与由向量组 $(\mathrm{II})$ 可相互线性表示，则 $\mathrm{r}(\mathrm{I})$ 与 $\mathrm{r}(\mathrm{II})$ 之间向量个数的大小关系是
向量 $\gamma=(2,1)^{\top}$ 可以用 $\alpha=(0,1)^{\top}$ 与 $\beta=(1,3)^{\top}$ 线性表示为
方程组 $A x=0$ 有非零解是非齐次方程组 $A B=b$ 有无穷组解的 $\_\_\_\_$条件
设 A 为 $\mathrm{m} \times \mathrm{n}$ 矩阵，非齐次线性方程组 $A x=b$ 有唯一解的充要条件是
已知 $n$ 元线性方程组 $A X=b$ 有解，且 $r(A) < n$ ，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为
设 $\lambda_0$ 是方阵 A 的一个特征值，则齐次线性方程组 $\left(\lambda_0 E-A\right) \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的 $\_\_\_\_$都是 $A$ 的属于 $\lambda_0$ 的特征向量．
若 3 阶矩阵 A 的特征值为 $1,2,-3$ ，则 $A^{-1}$ 的特征值为
设 A 是 n 阶方阵，$|\mathrm{A}| \neq 0, A^*$ 为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征值 $\lambda_0$ ，则 $\left(A^*\right)^3+2 E$ 必有特征值 $\lambda=$
$\alpha, \beta$ 分别为实对称矩阵 A 的两个不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 所对应的特征向量，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积 $(\alpha, \beta) =$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_1 x_4+x_2 x_3$ 的秩为
矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & \lambda \\ 0 & \lambda & 1\end{array}\right)$ 为正定矩阵，则 $\lambda$ 的取值范围是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+t x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3$ 是正定的，则 $t$ 的取值范围是