单选题 （共 16 题 ），每题只有一个选项正确
设 $a_n>0(n=1,2,3 \cdots), S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$ ，则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分非必要条件．
$\text{C.}$ 必要非充分条件．
$\text{D.}$ 非充分也非必要．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界，$\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛。
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛．
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛。
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛．
设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 均为非负数列，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=1, \lim _{n \rightarrow \infty} c_n=\infty$ ，则必有
$\text{A.}$ $a_n < b_n$ 对任意 $n$ 成立．
$\text{B.}$ $b_n < c_n$ 对任意 $n$ 成立．
$\text{C.}$ 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n c_n$ 不存在．
$\text{D.}$ 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n c_n$ 不存在．
＂对任意给定的 $\varepsilon \in(0,1)$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right| \leqslant 2 \varepsilon$＂是数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件但非必要条件．
$\text{B.}$ 必要条件但非充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 与 $\left\{y_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，则下列断言正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 发散，则 $\left\{y_n\right\}$ 必发散．
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 无界，则 $\left\{y_n\right\}$ 必有界．
$\text{C.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 有界，则 $\left\{y_n\right\}$ 必为无穷小．
$\text{D.}$ 若 $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 为无穷小，则 $\left\{y_n\right\}$ 必为无穷小．
设数列的通项为 $x_n=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}, & n \text { 为奇数，} \\ \frac{1}{n}, & n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$ 则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$x_n$ 是
$\text{A.}$ 无穷大量．
$\text{B.}$ 无穷小量．
$\text{C.}$ 有界变量．
$\text{D.}$ 无界变量．
设 $\alpha_1=x(\cos \sqrt{x}-1), \alpha_2=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x}), \alpha_3=\sqrt[3]{x+1}-1$ ．当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ．
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1$ ．
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$ ．
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_2, \alpha_1$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设 $p(x)=a+b x+c x^2+d x^3$ ．当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $p(x)-\tan x$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小量，则下列选项中错误的是
$\text{A.}$ $a=0$ ．
$\text{B.}$ $b=1$ ．
$\text{C.}$ $c=0$ ．
$\text{D.}$ $d=\frac{1}{6}$ ．
设 $\cos x-1=x \sin \alpha(x)$ ，其中 $|\alpha(x)| < \frac{\pi}{2}$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$\alpha(x)$ 是
$\text{A.}$ 比 $x$ 高阶的无穷小量。
$\text{B.}$ 比 $x$ 低阶的无穷小量。
$\text{C.}$ 与 $x$ 同阶但不等价的无穷小量。
$\text{D.}$ 与 $x$ 等价的无穷小量．
当 $x \rightarrow 0$ 时，用＂$o(x)$＂表示比 $x$ 高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是
$\text{A.}$ $x \cdot o\left(x^2\right)=o\left(x^3\right)$ ．
$\text{B.}$ $o(x) \cdot o\left(x^2\right)=o\left(x^3\right)$ ．
$\text{C.}$ $o\left(x^2\right)+o\left(x^2\right)=o\left(x^2\right)$ ．
$\text{D.}$ $o(x)+o\left(x^2\right)=o\left(x^2\right)$ ．
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$ ．
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$ ．
$\text{C.}$ $k=3, c=4$ ．
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{1}{6}$ ．
$\text{B.}$ $a=1, b=\frac{1}{6}$ ．
$\text{C.}$ $a=-1, b=-\frac{1}{6}$ ．
$\text{D.}$ $a=-1, b=\frac{1}{6}$ ．
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ ．
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$ ．
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$ ．
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$ ．
设 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm{e}^{\tan x}-\mathrm{e}^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设当 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm{e}^x-\left(a x^2+b x+1\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$ ．
$\text{B.}$ $a=1, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$ ．
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$ ．