解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明当 $x>0$ 时, $\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) < \sqrt{1+x^2} \arctan x$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{-y}-y+\int_0^x\left(\mathrm{e}^{-t^2}+1\right) \mathrm{d} t=1$ 所确定的隐函数.
(1) 证明 $y(x)$ 是单调增加函数;
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 曲线 $y^{\prime}(x)$ 是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.
已知函数
$$
f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 t \mathrm{~d} t \int_0^x \frac{u^2 \mathrm{~d} u}{\left(1+u^2 \sin ^2 t\right)^2},
$$
$F(x)=f(x)-x=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,-1 < x < 1 \text {, }$
求$a_n$的表达式
设点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 是椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$ 在第一卦限上的点, $\Sigma$ 是椭球面在点 $P_1$ 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形区域, 取上侧. 求
$$
I=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
的最小值, 并求出此时点 $P_1$ 的坐标.
设曲面 $\Sigma$ 由直线段 $L:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}(t-1), \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}(t+1), \\ z=t\end{array},(0 \leqslant t \leqslant 1)\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到, 空间区域 $\Omega$ 由 $\Sigma$ 与平面 $z=0, z=1$ 所围成, 求 $\Omega$ 的形心.
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos (\sqrt{x}))^{\frac{1}{x}}$.