单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的基, 则由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 基 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$
设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵$A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha $, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 3 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B A})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A B}\end{array}\right)=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{B A})$.
下列集合构成向量空间的是
$\text{A.}$ $V_1=\{x \mid A x=b\}$
$\text{B.}$ $V_2=\left\{x=\left(1, x_2, x_3\right)^T \mid x_2, x_3 \in R\right\}$
$\text{C.}$ $V_3=\{x \mid A x=O\}$
$\text{D.}$ $V_4=\left\{x=\left(x_1, x_2, x_3\right)^T \mid x_1+x_2+x_3=1\right\}$
判断题 （共 2 题 ）
设 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, $s \geq 3$, 则 $V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$ 的充分必要条件是 $V=\sum_{i=1}^s V_i$ 且 $\operatorname{dim} V=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} V_i$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, 则存在 $V$ 的真子空间 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ ( $s$ 为正整数), 使得 $V=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_s$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误