单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
若正项级数 $\sum_{n=1} a_n$ 收敛, 则下列级数
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$,
(2) $\sum_{n=1}\left(a_n-2 a_{n+1}\right)$,
(3) $\sum_{n=1} \sqrt{a_n}$,
(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n-1}}$ 中一定收敛的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列级数中, 收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+n^2}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$
下列级数中, 绝对收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n^2}{n^2}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}$
若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别是 $R_1 、 R_2$, 则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+b_n\right) x^n\left(a_n \neq-b_n\right)$ 的收敛半径是
$\text{A.}$ $R=\max \left(R_1, R_2\right)$
$\text{B.}$ $R=\min \left(R_1, R_2\right)$
$\text{C.}$ $R=R_1 R_2$
$\text{D.}$ $R=R_1+R_2$
当 $|x| < 1$ 时, 函数 $\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 的幂级数展开式为
$\text{A.}$ $x+\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{4} x^4+\cdots+\frac{1}{n} x^n+\cdots$
$\text{B.}$ $x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{4} x^4+\cdots+(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{n} x^n+\cdots$
$\text{C.}$ $x+\frac{1}{2 !} x^2+\frac{1}{3 !} x^3+\frac{1}{4 !} x^4+\cdots+\frac{1}{n !} x^n+\cdots$
$\text{D.}$ $x-\frac{1}{3 !} x^3+\frac{1}{5 !} x^5-\frac{1}{7 !} x^7+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{(2 n-1) !} x^{2 n-1}+\cdots$
将函数 $f(x)=\frac{1}{3+4 x}$ 展开为 $x-1$ 的幂级数, 则该级数的收敛半径为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{4}$