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2024—2025学年度上学期期末考试

高等数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 2

, 则

lim_{x \to 0} \frac{\sin 2 x}{f (3 x)} = () 。

A.

3 / 2

B.

2 / 3

C.

1 / 3

D.

4 / 3

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2. 设

f (x) = \int_{0}^{\sin x} \sin (t^{2}) d t, g (x) = x^{3} + x^{4}

, 则当

x \to 0

时,

f (x)

是

g (x)

的

A.

等价无穷小.

B.

同阶但非等价无穷小.

C.

高阶无穷小.

D.

低阶无穷小.

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3. 设

f (x) = \frac{1 + e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}}

, 则曲线

f (x)

().

A.

仅有水平渐近线

B.

仅有铅直渐近线

C.

既有水平渐近线又有铅直渐近线

D.

没有渐近线

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4. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 ⩽ x < π, \\ 2, & π ⩽ x ⩽ 2 π \end{cases} F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

, 则

A.

x = π

是函数

F (x)

的跳跃间断点.

B.

x = π

是函数

F (x)

的可去间断点.

C.

F (x)

在

x = π

处连续但不可导。

D.

F (x)

在

x = π

处可导.

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5. 已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} \sin t d t, g (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot \sin^{2} x

，则 ( ).

A.

x = 0

是

f (x)

的极值点，也是

g (x)

的极值点

B.

x = 0

是

f (x)

的极值点，

(0, 0)

是曲线

y = g (x)

的拐点

C.

(0, 0)

是

y = f (x)

的拐点，

x = 0

是

g (x)

的极值点

D.

(0, 0)

是曲线

y = f (x)

的拐点，也是曲线

y = g (x)

的拐点

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二、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 过坐标原点作曲线

y = \ln x

的切线, 该切线与曲线

y = \ln x

及

x

轴围成平面图形 D .
(1) 求 D 的面积 A ;
(2) 求 D 绕直线

x = e

旋转一周所得旋转体的体积 V.

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7. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 5 x} - \sqrt{1 - 3 x}}{x^{2} + 2 x}

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8. 已知

\ln \ln x

是

f (x)

的一个原函数, 求

\int x f^{'} (x) d x

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9. 已知曲线

y = a \sqrt{x} (a > 0)

与曲线

y = \ln \sqrt{x}

在交点

(x_{0}, y_{0})

处有公共切线,
(1) 求常数

a

及

x_{0}

;
(2) 求两曲线与

x

轴围成的平面图形的面积

A

;
(3) 写出 (2) 中所述平面图形绕

x

轴旋转所得旋转体的体积

V_{x}

的定积分计算公式 (不必计算结果)。

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10. 证明：当

| x | < 1

时,

x \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \cos x \geq 1 + \frac{3}{2} x^{2}

。

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11.

\int \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} d x

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12. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续, 且满足方程

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = e^{x} (x^{2} - 2 x)

（1）求

f (x)

的表达式;（2）求

f (x)

的极值。

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