解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域与和函数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛域及和函数.
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ 敛散性，如果收敛求其和
求收敛域及收敛半径 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^n}$ ；
求收敛域及收敛半径 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot x^n}{(2 n+1)!}$ ；
将函数展开成幂级数．$f(x)=\sin x$ ，在点 $x=\frac{\pi}{4}$ 处；