单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列哪一个无穷小是对于 $x$ 的三阶无穷小？
$\text{A.}$ $x^3+0.0001 x^2$
$\text{B.}$ $\sqrt{2+x^3}-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt[3]{\tan x}$
$\text{D.}$ $\sqrt[3]{x^2}-\sqrt{x}$
设 $x \rightarrow 0$ 时, $e ^{\tan x}- e ^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小, 则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4.
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$ ．
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$ ．
$\text{C.}$ $k=3, c=4$
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^4}=1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{f(x)}=$
$\text{A.}$ $\infty$ ．
$\text{B.}$ 0.
$\text{C.}$ 6.
$\text{D.}$ -6 ．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sqrt{\left|x_n\right|}\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+x_n^2\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sin x_n\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^x-1\right) \cdot(1-\cos x) \cdot \arctan x}{\ln \left(1+x^2\right) \cdot\left(\sqrt{1+2 x^2}-1\right)}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-x \sin \frac{2}{x}\right)=$
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=$
若常数 $p>0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^p}{n^{p+1}-(n-1)^{p+1}}=$
设当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，则 $a=$ ，$b=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 2 \arctan x-\ln \frac{1+x}{1-x}}{x^n}=C \neq 0$ ，试确定常数 $n$ 和 $C$ 的值
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x \sin x-x(1+x)}{x^3}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[e^{\frac{1}{x}}-x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)} \int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(e-1-t)^2 d t}{x \sin ^4 x}$