如图, 直线 $A M: y=x+1$ 与 $x$ 轴交于点 $M$, 与 $y$ 轴交于点 $A$, 以 $O A$ 为边在 $O A$ 右侧作正方形 $O A B C$, 过点 $B$ 作 $E O_1 \perp M A$ 交 $M A$ 于点 $E$, 交 $x$ 轴于点 $O_1$, 过点 $O_1$ 作 $x$ 轴的垂线交 $M A$ 于点 $A_1$, 连接 $A_1 B$; 以 $O_1 A_1$ 为边在 $O_1 A_1$ 右侧作正方形 $O_1 A_1 B_1 C_1$, 点 $B_1$ 的坐标为 $(5,3)$,过点 $B_1$ 作 $E_1 O_2 \perp M A$ 交 $M A$ 于点 $E_1$, 交 $x$ 轴于点 $O_2$,过点 $O_2$ 作 $x$ 轴的垂线交 $M A$ 于点 $A_2$, 连接 $A_2 B_1$; 以 $O_2 A_2$ 为边在 $O_2 A_2$ 右侧作正方形 $O_2 A_2 B_2 C_2 \cdots \cdots$. 则 $A_{2024} B_{2023}$ 的长为