在 $\triangle A B C$ 中, 已知内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且 $a, b, c$ 依次为等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 3 项, 设其公比为 $q$, 且 $a>1, q \geqslant 1$.
(1) 若 $a=2, q \in\left\{\frac{3}{2}, 2\right\}$, 求 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$;
(2)证明: 当 $\frac{a}{q}=\sqrt{2}$ 时, 长度为 $\lg a, \lg b, \lg c$ 的三条线段可以构成三角形.