设曲面 $\Sigma$ 是由空间曲线 $C: x=t, y=2 t, z=t^2,(0 \leq t \leq 1)$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的旋转曲面，其法向量与 $z$ 轴正向成钝角. 已知连续函数 $f(x, y, z)$ 满足

$$
f(x, y, z)=(x+y+z)^2+\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$


求 $f(x, y, z)$ 的表达式