对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为"平凡型无圆"四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为"外接型单圆"四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为"内切型单圆"四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为"完美型双圆"四边形。
请你根据该约定, 解答下列问题:
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打" $\sqrt{ }$ "，错误的打" $\times$ "）。
① 平行四边形一定不是"平凡型无圆"四边形；
② 内角不等于 $90^{\circ}$ 的菱形一定是"内切型单圆"四边形；
③ 若"完美型双圆"四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合, 外接圆半径为 $R$, 内切圆半径为 $r$, 则有 $R=\sqrt{2} r$. $\qquad$
(2) 如图1, 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 四条边长满足: $A B+C D \neq B C+A D$.
① 该四边形 $A B C D$ 是" $\qquad$ "四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
② 若 $\angle B A D$ 的平分线 $A E$ 交 $\odot O$ 于点 $E, \angle B C D$ 的平分线 $C F$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 连接 $E F$. 求证: $E F$ 是 $\odot O$ 的直径.

(3) 已知四边形 $A B C D$ 是"完美型双圆"四边形, 它的内切圆 $\odot O$ 与 $A B, B C, C D, A D$ 分别相切于点 $E, F, G, H$.
① 如图2, 连接 $E G, F H$ 交于点 $P$. 求证: $E G \perp F H$ ；
② 如图3, 连接 $O A, O B, O C, O D$, 若 $O A=2, O B=6, O C=3$, 求内切圆 $\odot O$ 的半径 $r$ 及 $O D$ 的长.